总觉得在代数整数范围内的奇偶数概念要说清楚，现在就奇偶数的概念推广一下，有不当之处敬请指教，自已找不到资料，谁要是找到现成的书或资料麻烦告诉我一声。

一.先看看整数范围内的奇偶数性质：

1.       偶数加偶数是偶数。

2.       奇数加奇数是偶数。

3.       偶数加奇数是奇数。

4.       2和（-2）能整除整数范围内所有的偶数,地位比较特殊。

5.       整数集等于偶数集加奇数集。

二.代数整数范围内的奇偶数及其性质，用两个具体的例子吧！

 （一）.若x是复整数，形如s+t*i，i是虚数单位，s和t均为普通整数，构成复整数环（高斯整环）。（复整数是代数整数的一种）。

奇偶性规则是：s+t为偶数时，s+t*i是偶复整数，s+t为奇数时，s+t*i是奇复整数。

显然仍有：

1.       偶加偶还是偶的.

2.       奇加奇也是偶的.

3.       奇加偶的是奇的。

4.       (1+i),(1-i),(-1+i),(-1-i)这四个偶复整数，地位也比较特殊，能整除复整数环内所有偶复整数。

5.       复整数环内恰巧分为奇复整数和偶复整数。

例如：1，i ,2+i ,1+2*i 这几个是奇复整数；2，2*i ,1+i ,3+5*i ,这几个是偶复整数。

（二）若x是根号下2（即2^(1/2)）生成的数，形如r+s*2^(1/2)的代数整数，构成一个代数整数环，r和s是普通整数。

奇偶性规则：r是偶数时,称x=r+s*2^(1/2)是偶的,r 是奇数时,称x=r+s*2^(1/2)是奇的。

显然有

1.偶加偶还是偶的.

2.奇加奇也是偶的.

3.奇加偶的是奇的。

4.2^(1/2)和（-2^(1/2)）这两个偶代数整数，地位也比较特殊，能整除所有形如r+s*2^(1/2)的偶代数整数,(在2^(1/2)生成的代数整数环内)。

5.此代数整数环内恰巧分为奇代数整数和偶代数整数。

例如，-3-2*2^(1/2)，3，-7+2^(1/2)，这几个是奇代数整数。

      2+3*2^(1/2)，4，-10+9^(1/2)，这几个是偶代数整数。

(三)当然，还可以在别的代数整数环里规定奇偶代数整数。

在一些代数整数环里类似于(1+i),(1-i),(-1+i),(-1-i)地位特殊的偶代数整数还不只四个.

例如在3^(1/2)生成的代数整数环里，形如r+s*3^(1/2)的代数整数,规定r+s为偶数时, r+s*3^(1/2)为偶代数整数,r+s为奇数时, r+s*3^(1/2)为奇代数整数..有3^(1/2)+1，3^(1/2)-1，-3^(1/2)+1，-3^(1/2)-1，5+3*3^(1/2), 5-3*3^(1/2), -5+3*3^(1/2), -5-3*3^(1/2),这八个偶代数整数均能整除3^(1/2)生成的代数整数环里所有的偶代数整数.(不知道这个环里还有没有别的这样特殊地位的偶代数整数).

三.如果代数整数环R内可以规定奇偶代数整数.

有奇偶性质:

1.偶加偶还是偶的.

2.奇加奇也是偶的.

3.奇加偶的是奇的。

4.此代数整数环内恰巧分为奇代数整数和偶代数整数。

少了个性质:某一个偶代数整数u能整除环R内所有的偶代数整数.

(也就是此整环R内不存在这样的偶元u,此u能整除R内所有的偶元).

例如,由2^(1/2)和3^(1/2)生成的整环R,此环中一个元x,形如r+s*3^(1/2)+t*2^(1/2)+v*6^(1/2),r,s,t,v均为普通整数,奇偶性规定为:当r+s为奇数时,x= r+s*3^(1/2)+t*2^(1/2)+ v*6^(1/2)为奇代数整数,当r+s为偶数时,x= r+s*3^(1/2)+t*2^(1/2)+ v*6^(1/2)为偶代数整数.若存在一个偶元u能整除R内所有的偶元,则u能同时整除(3^(1/2)-1)和2^(1/2),但2^(1/2)的因子只有单位数(么数)和正负根号下2,( 即2^(1/2), -2^(1/2)),u只能取值为2^(1/2)或(-2^(1/2)),这两个数都不能整除(3^(1/2)-1),故这样的u不存在.

四.还可以在许多整环R内定义奇偶元,这样就推广了整数环内的奇偶数.

如有兴趣,可以把许多整数环内涉及到奇偶数的问题推广,不光是3x+1问题,比如说哥德巴赫猜想，推广到复整数环，就是一个偶复整数，能否表示成某两个不可约的奇复整数之和，等等。