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论数学陷阱

(2017-02-17 18:22:48)

论数学陷阱

 

作者 陈果仁

 

古希腊毕达哥拉斯学派认为万物皆数,认为数是世界的本原,于是结成崇拜数的宗教团体。当他们中有人发现无理数时,认为这是异端,于是将其抛入大海,使之成为科学祭坛上第一祭品。后来数学悖论接二连三地出现,于是引发了数学家们对数学基础的争论。遗憾的是,危机与争论提出的问题至今一个也没有得到解决。

今天已经没有人相信数是世界本原了,但由于数量究竟是什么没有弄清楚,这不但使得数学中布满层层迷雾,而且使得相当一部分人仍然崇拜数。下面先讨论数学基础,再一层一层地拨开迷雾。

数学是关于事物多与少及它们关系、变化的科学。事物不但有多与少、大与小、快与慢、重与轻、强与弱、密与疏、高与低、亮与暗等大致区别,而且有多多少,少多少的精确区别,这些区别称之为数量区别。将所有这些数量区别都归结为多与少的区别,这样多与少的区别就成了所有数量的共性。

事物具有各种属性,数量性是其中之一。所有事物都处在普遍关系之中,所有事物之间都存在着数量关系。所有事物都在运动变化着,所有运动变化都包含数量变化。也就是说,数学基础不在数量本身,而在数量之外。

几何学是关于空间的科学,正如数学不包括物理学、化学,数学不包括几何学。

数学公式是人类对事物的数量规律的表述。该规律又包含因果律、必然律、守恒律。等号的一边是原因,另一边是结果,原因一旦成了,结果必然产生,从原因到结果数量守恒。因此数学不但可以用于计算,而且能以估计与精确的方式用于预测预见。

公理、纯数量、进位制、数论是构筑现在数学理论大厦的四大基石。下面对它们进行剖析。

数量总是事物的数量,任何数量都有计量单位,世界上没有纯数量。事物的数量变化也没有进位制。纯数量与进位制是为简化计算而人为设立的。纯数量与进位制只存在于人脑中。没有纯数量与进位制,计算是不可想象的。

纯数量与进位制的存在使得数量之间形成了一种全新的关系。这些关系往往与事物的数量性无关。比如哥德巴赫猜想就是这样一种关系的产物。许多数学家不遗余力去破解数学猜想,实际上他们是在猜谜语,做数学游戏而已。

世界上的事物首先都以个的方式呈现在人的眼前,人类一开始就以数对个进行计量,于是人们自然而然就将数学建立在数的基础上。在数学史中,最早产生的是算术。但实验证明,基本粒子产生于真空,而真空是连续的,也就是说,离散量产生于连续量。科学家们早就知道电场磁场等可以叠加,但人类至今还未研究过相容量。实际上,离散量是连续量与相容量的产物。

数论是关于数的理论。高斯说:“数论是数学的皇后”。错,因为数论中的数多为虚构的。首先0就是一个非常复杂的概念,至少它具有以下几种含义:

一是世界是有,世界上不存在无事物。数量的前提是有,凡有都具数量性。世界上不存在0事物,也就不存在0数量。可是0偏偏含有两种截然相反的意义。一是代表无,二是代表有。比如桌子上有2个苹果,拿走1个,吃掉1个,从数学的角度看,2-2=0,桌上苹果数为0。但从哲学的角度看,此时的0并不代表物质消失于无,而只是构成苹果的物质的位置或形态发生了变化。又如正负电场中和后,正负电场仍然存在,只是此时的电场强度为0而已。

二是代表临界点。世界上存在着相反的事物,于是人们将临界点规定为0。比如水温0度时结冰,此时无论0度以上还是0度以下都代表有(温度)。

三是代表相反事物的分界线。比如正电场为正,负电场为负,正负电场中和则为0

四是假设无限小的极限是0。以正数为极限时,正数是有。但如果假设0是无限小的极限,那么无限小的极限就成了无,而无限小又永远大于0。这在逻辑上是不容许的。微积分的无限小悖论并没有真正解决。

五是代表10进位制的一个特殊符号。如果没有10进位制,10000就需要用10000个不同的符号来表示。

六代表数字中的笔画,比如任一数字70301807只代表一个字,他由8笔画构成,其中的30分别代表3笔画。增加、减少、改写一个0,该数字的含义就随之发生变化。

七是为避免谬论而做出的数学规定,比如规定;任何数乘以0等于0,正数除以0等于无穷大,0除以0无意义等。然而怎么“有”乘以0就变成了无,除以0就变成了无穷大呢?这些在现实中根本都不存在,都没有意义,但在数学运算中不可避免涉及这些问题,于是做出种种规定。

世界上没有0(无)事物,更没有比0(无)更小的事物。但负数仍然具有实用价值。比如:在序列数中,可以将某种量设为0,比如在直线上,设某点为0,如果它的右边设为正数,那么它的左边就是负数。设将来为正,那么过去为负,现在就为0。设什么为0,完全随心所欲。

事物是可分割的,因此世界上存在分数。但不存在无限循环小数,更不存在没完没了的无理数,无限循环小数与无理数都是进位制的产物。世界上没有虚事物,因此不可能有虚数。没有虚数也就没有复数。虚数与复数都是纯数学的产物,都是数学家出于对对称的爱好而设想出来的,没有任何实际意义,牵强附会只会造成混乱。

既然数量是事物的数量,那么数量就没有自己的公理。过去将公理建立在离散量的基础上,比如几何点与个数。事实证明离散量是连续量与相容量的产物,因此离散量不能成为公理。公理是人为假设的,它们会导致悖论的产生。

从以上讨论可以看到,不管数学理论的宫殿建得多么堂皇富丽,但由于它的基石是淤泥制成的,因此随时都有瓦解的可能。数学是具有实用价值的必要工具,但必须提防里面的陷阱。

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