加载中…
个人资料
北大袁萌
北大袁萌 新浪个人认证
  • 博客等级:
  • 博客积分:0
  • 博客访问:4,145,510
  • 关注人气:10,622
  • 获赠金笔:0支
  • 赠出金笔:0支
  • 荣誉徽章:
相关博文
推荐博文
正文 字体大小:

袖珍电子书:一元实函数的导数定义

(2013-03-08 03:10:55)
标签:

it

    导数(Derivative)是什么?在微积分学中,导数是一个基本概念。在无穷小微积分学里面,导数的定义有些”异样“,需要我们多加思索与体会。在 J. Keisler《基础微积分》第二章第一节第4345页里有两个相关的定义如下:

      1DEFINITION

      S is said to be the slope of f at a if

                              S = st((f(a+Δx)- f(a))/Δx)

for every nonzero infinitesimal .Δx.

          (意思是,函数fa处的斜率S是指S=st(......))

        在此定义基础上,正式给出了导数的定义:

       2DEFINITION

               Let f be a real function of one variable .The derivative of f is the new function f' whose value at x is the slope of f at x. In symbols ,

                         f'(x) = stt((f(x+Δx)- f(x))/Δx)

where the slope exists.

           (意思是,假定f是一元实函数。f的导数是一个新函数f',其在x处的值是函数fx处的斜率(假定该斜率存在)。用符号表示为f'x= st(......)。)

        首先需要指出,这两个定义都是在超实数*R上给出的,函数符号左上角的星号”*“都省去了,此省略是惯例,不至于影响到我们对定义内容的正确理解。这里,符号”st“是对其后括号内的超实数提取标准部分的算符,用其替代了取极限的过程。......一切都在静悄悄地进行中,没有(εδ)语言的喧闹。

                在这里,为什么要把导数定义为”the new function“(新的函数)?这主要是为了强调导数是一个新定义出来的函数(有序偶集合),而Slope(斜率)强调的是其几何意义。那么,我们要问,这个”新版本“的导数定义与传统微积分学的(εδ)极限导数定义是不是”等价“呢?是不是互为”充要条件“?事实确实是这样的。在J.Keisler《无穷小微积分基础》教学辅导书的第五章第一节第73页给出了两者等价的数学证明。

         导数是运动体瞬时变化率(Instantaneous rate of change)的数学抽象。但是,我们需要将抽象的数学概念与具体的物理概念加以区分。在菲氏《微积分学教程》第一卷第一章第一节第28页有一段话如下:”在数学上我们不顾及到所考察的量的物理意义,仅关心于表示这个量的数字,量的物理意义仅当数学被应用时,始再获得重要性。这样,对于我们来说,变量仅为赋予数值的符号而已。“五十多年前,这句话使我大为震惊,对我的影响颇大,至今难忘(在浩瀚文字里面找出了这段话)。

            导数的定义涉及无穷小数量的应用,更加适合人们关于瞬时变化率的直观概念。在这里,我们要认识到:导数的无穷小定义与其(εδ)极限定义是完全等价的,不是”标新立异,自主创新“的产物。数学是统一的,两种表现形式不同的微积分是相互”内容对等“的,本质上是等同的,只是表现手法不同而已。

             说明:今日是”国际三八妇女节“。我不知道无穷小有没有女性读者,但我还是祝愿女性同袍节日快乐!


0

阅读 评论 收藏 转载 喜欢 打印举报/Report
  • 评论加载中,请稍候...
发评论

    发评论

    以上网友发言只代表其个人观点,不代表新浪网的观点或立场。

      

    新浪BLOG意见反馈留言板 电话:4000520066 提示音后按1键(按当地市话标准计费) 欢迎批评指正

    新浪简介 | About Sina | 广告服务 | 联系我们 | 招聘信息 | 网站律师 | SINA English | 会员注册 | 产品答疑

    新浪公司 版权所有