加载中…
个人资料
北大袁萌
北大袁萌 新浪个人认证
  • 博客等级:
  • 博客积分:0
  • 博客访问:4,156,590
  • 关注人气:10,623
  • 获赠金笔:0支
  • 赠出金笔:0支
  • 荣誉徽章:
相关博文
推荐博文
正文 字体大小:

袖珍电子书:一元实函数的极限定义

(2013-03-07 03:06:17)
标签:

it

     大家知道,当x无限地趋近于c,函数值f(x)无限地趋近于L时,则称L是函数fc的极限(limit),其中cL是固定的实数。但是,此处的“无限地趋近于”是什么意思呢?什么叫”无限地趋近“?趋近(动作)好理解,无限地趋近(动作)就不好理解了。恐怕其中有一个“逝去量的鬼魂(ghost)”躲在里面。

       扩大实数系R,进入超实数系*R,问题就好办了。在J. Keisler《基础微积分》第三章第三节第117页,有一个极限定义如下:

         DEFINITIONL is the limit of f(x) as x approaches c, if whenever x infinitely close to but not equal to cf(x) is infinitely close to Lc and L are real numbers

         In symbols,                    lim f(x) = L            (xc)

          中文的意思是:

         定义:当x趋近于c,函数f(x)的极限是L,如果当x无限地接近但不等于c时,函数值f(x)无限地接近于L,此处,cL是实数。

           在无穷小微积分学中,两个超实数相差为无穷小就称两者”无限地接近“,记为”x≈c“,或”f(x)≈L“。也就是说,在无穷小微积分学里面,如果x≈c(但x≠c),有fx)≈L,则称Lf(x)c的极限。

           在传统微积分学里面, x趋近于c,函数f(x)的极限是L,则需要表示为:ε>0∃δ>0∀x[0<</font>│x-c│<</font>δ│f(x)-L│<ε],简记为”∀∃∀“表述方式。很明显的是,上述”如果x≈c(但x≠c),有fx)≈L“的无穷小表述方式远比传统微积分学的∀∃∀“表述方式简洁、易懂,更加符合人们的直觉思维习惯。

          我们进一步追问:这两种说法”等价“吗?也就是说,两者是否互为”充要条件“?在这里,我们要注意:短语”如果x≈c(但x≠c),有fx)≈L“应该理解为“如果x≈c(但x≠c),有*fx)≈L“,其中超实函数*f是函数f的自然延伸函数。但是,按照我们的约定,在这种情况下,往往习惯上略去”*“星号罢了。

           言归正传。关于函数极限的定义,无穷小方式与传统的(εδ)方式效果一样吗?两者是否完全等价?这是一个非常关键的问题。实际上,两者互为”充要条件“,是一条数学定理,完全可以严格证明。在J.Keisler的《无穷小微积分基础》教学辅导书的第三章第一节第43页给出了一个数学证明。在此省略,不便细说。

           说明:在不久的将来,大批无穷小微积分袖珍电子书在互联网大课堂上流行起来之后,学生们一定会好奇地询问他们的老师为什么会有这样的差别。老师只能含糊其辞,敷衍过去了事。乌呼!今后,我准备常常写无穷小袖珍电子书,希望大家喜欢它。


0

阅读 评论 收藏 转载 喜欢 打印举报/Report
  • 评论加载中,请稍候...
发评论

    发评论

    以上网友发言只代表其个人观点,不代表新浪网的观点或立场。

      

    新浪BLOG意见反馈留言板 电话:4000520066 提示音后按1键(按当地市话标准计费) 欢迎批评指正

    新浪简介 | About Sina | 广告服务 | 联系我们 | 招聘信息 | 网站律师 | SINA English | 会员注册 | 产品答疑

    新浪公司 版权所有