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微积分是软知识吗?

(2012-12-26 04:42:25)
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it

        什么叫“软知识”?软知识是相当于”硬道理“而言的,是硬道理的反面。有人学了微积分,心里面”没有底“,觉得”不踏实“,头脑里面对微积分有点儿软绵绵的感觉,似乎微积分不是”硬道理“,有点儿似是而非的味道。由此,微积分的“道理”(定理)学过以后很快就忘记了,俗话说,还给老师了。

          现在,假定我们已经知道了一些无穷小微积分的知识。我们设法把微积分学搞成物理学那样的”硬道理“。为此,我们设想在一条(实数)直线上,任意截取两点构成一条线段(又叫”区间“),该线段中所有的点均在该直线上。这是一种很重要的”物理现象“,我们可以体会感知出来。进一步设想,将此直线截去一半,使其成为实数集合T:(-b](-∞b),注意,右边的那一半不要(暂不考虑)了。我们在这个实数集合T中,任意截取线段,该线段上的点也必然在集合T中。这种做法,反过来做对不对呢?也胡是说,在某一实数集合T中,如果任意截取线段,线段上的所有点均在此集合T中,那么,集合T必是一个实数区间(也可能是无限区间)。这种性质就叫做实数系的”完备性“(Completeness)。

          由实数系的完备性可以导出一条”定理“(硬道理):单调有界序列必有极限。这是微积分学中最最基本的一条定理啊!同济大学《高等数学》教材第一章第6节(52页)将其称为”收敛准则“,而不予证明。这一下就”高等数学“软下来了,不硬气。

           我们利用实数系的完备性给出该定理的一个严格证明,使其成为具有物理属性的“硬道理”。假定实数集合T = {x┃x < 序列中的某一项},由于序列的单调性,再考虑到实数系的完备性,我们不难看出:

                                          T =-b],或者 T = (-∞b)

对于每一个实数x< b,只要序列序号足够大,成立以下不等式

                                                        x < 序列的通项 < b

由于x是任意的小于b的实数,那么,该序列的通项只能无限接近于b,即以实数b为其极限。注:证明里面有些拐弯的地方,需要仔细想想才行。

           如果微积分体系全部实现”公理化“,从几条”硬道理“出发,推导出所有的”定理“,随后,再仿照”例题“做题目。这样学下来,微积分就不软了。我认为,教授微积分就应该像教授欧几里德平面几何一样,老师一板一眼的教,学生一字一句的学。没有笨学生,只有笨老师。

          记得,我在南京大学学习期间(1957-1962),读过一本苏联学者拉舍夫斯基写的书,题目是”作为物理学的几何学“,很入我的”脑子“。现在,我在想,为什么微积分不能作为物理学来讲授呢?实数系就是物理连续统,那么,超实数系是不是物理连续统呢?对此,有人出来反对。我不怕。我认为,有道理大家讲嘛!道理是越辩论越明白,躲在背后乱嘀咕没有什么用处。


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