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线性插值、双线性插值、三线性插值

(2012-03-14 15:14:54)
标签:

杂谈

分类: 数学
內插数学领域数值分析中的通过已知离散数据未知数据的过程或方法。
根据若干离散的数据数据,得到一个连续函数(也就是曲线)或者更加密集离散方程与已知数据相吻合。这个过程叫做拟合。內插是曲线必须通过已知点的拟合。
1、线性插值

已知坐标 (x0y0) 与 (x1y1),要得到 [x0x1] 区间内某一位置 x 在直线上的值。

\frac{y - y_0}{x - x_0} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}. \,\!

由于 x 值已知,所以可以从公式得到 y 的值

y = y_0 + (x-x_0)\frac{y_1 - y_0}{x_1-x_0} = y_0 + \frac{(x-x_0) y_1 - (x-x_0) y_0}{x_1-x_0}

已知 y 求 x 的过程与以上过程相同,只是 x 与 y 要进行交换。

例如,
原来的数值序列:0,10,20,30,40 
线性插值一次为:0,5,10,15,20,25,30,35,40 
即认为其变化(增减)是线形的,可以在坐标图上画出一条直线 
线性插值经常用于补充表格中的间隔部分。
两值之间的线性插值基本运算在计算机图形学中的应用非常普遍,以至于在计算机图形学领域的行话中人们将它称为 lerp。所有当今计算机图形处理器的硬件中都集成了线性插值运算,并且经常用来组成更为复杂的运算:例如,可以通过三步线性插值完成一次双线性插值运算。由于这种运算成本较低,所以对于没有足够数量条目的光滑函数来说,它是实现精确快速查找表的一种非常好的方法。

在一些要求较高的场合,线性插值经常无法满足要求。在这种场合,可以使用多项式插值或者样条插值来代替。

线性插值可以扩展到有两个变量的函数的双线性插值。双线性插值经常作为一种粗略的抗混叠滤波器使用,三线性插值用于三个变量的函数的插值。线性插值的其它扩展形势可以用于三角形与四面体等其它类型的网格运算。

2、双线性插值

数学上,双线性插值是有两个变量的插值函数的线性插值扩展,其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。

 

已知函数 f 在 Q_{11} = \left( x_1, y_1 \right) Q_{12} = \left( x_1, y_2 \right) Q_{21} = \left( x_2, y_1 \right) , 及 Q_{22} = \left( x_2, y_2 \right)  四个点的值。

首先在 x 方向进行线性插值,得到

 f(R_1) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{11}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{21}) \quad\mbox{Where}\quad R_1 = (x,y_1),
 f(R_2) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{12}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{22}) \quad\mbox{Where}\quad R_2 = (x,y_2).

然后在 y 方向进行线性插值,得到

 f(P) \approx \frac{y_2-y}{y_2-y_1} f(R_1) + \frac{y-y_1}{y_2-y_1} f(R_2).

这样就得到所要的结果 f \left( x, y \right),

 f(x,y) \approx \frac{f(Q_{11})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x_2-x)(y_2-y) + \frac{f(Q_{21})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x-x_1)(y_2-y)
 + \frac{f(Q_{12})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x_2-x)(y-y_1) + \frac{f(Q_{22})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x-x_1)(y-y_1).

如果选择一个坐标系统使得 f 的四个已知点坐标分别为 (0, 0)、(0, 1)、(1, 0) 和 (1, 1),那么插值公式就可以化简为

 f(x,y) \approx f(0,0) \, (1-x)(1-y) + f(1,0) \, x(1-y) + f(0,1) \, (1-x)y + f(1,1) xy.

或者用矩阵运算表示为

 f(x,y) \approx \begin{bmatrix} 1-x & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f(0,0) & f(0,1) \ f(1,0) & f(1,1) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1-y \ y \end{bmatrix}

与这种插值方法名称不同的是,这种插值方法并不是线性的,它的形式是

 (a_1 x + a_2)(a_3 y + a_4), \,

它是两个线性函数的乘积。另外,插值也可以表示为

 b_1 + b_2 x + b_3 y + b_4 x y. \,

在这两种情况下,常数的数目都对应于给定的 f 的数据点数目。

线性插值的结果与插值的顺序无关。首先进行 y 方向的插值,然后进行 x 方向的插值,所得到的结果是一样的。

双线性插值的一个显然的三维空间延伸是三线性插值

3、三线性插值

三线性插值是在三维离散采样数据的张量积网格上进行线性插值的方法。这个张量积网格可能在每一维度上都有任意不重叠的网格点,但并不是三角化的有限元分析网格。这种方法通过网格上数据点在局部的矩形棱柱上线性地近似计算点 (x,y,z) 的值。



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