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阿贝尔和伽罗华五次方程没有根式解的证明被颠覆

(2020-12-14 20:40:40)
标签:

纯粹数学

数论

阿贝尔

伽罗华

陆家羲

阿贝尔和伽罗华五次方程没有根式解的证明被颠覆

                 福州原创物理研究所

 福州原创物理研究所梅晓春先生2020年9月在美国《纯粹数学进展》杂志上发表一篇长文,题目是“对一般五次方程没有根式解问题的重新认识”。近代数学上大名鼎鼎的,阿贝尔和伽罗华关于五次和高于五次的代数方程没有根式解的证明被彻底否定,数学史要被改写了。

    挪威和法国年轻数学家,阿贝尔和伽罗华在的悲情故事是如此出名,在数学界乃至科学界几乎无人不晓,无人不为动容阿贝尔因为贫困所致的英年早逝,伽罗华与人决斗前夜写下的,论及其心血之作群论的绝命书,震撼人心。

五次方程有没有根式解的问题是如此重要,事实上它是代数学早期的最基本研究内容之一。世界上无数杰出的数学家为之奋斗了数百年,直至阿贝尔和伽罗华的出现,方使尘埃落定两百年。

拉格朗日和伽罗华等人为解决这个问题,还特别发明了群论这一无比强大的数学工具。群论的出现意味着代数学从古典时代进入近世时代,它是从实用数学进入抽象数学的转折点。在现科学体系中,群论渗透到数学和物理学的广泛领域。就连上世纪末怀尔斯的费马大定理证明,在最后阶段也有赖于群论提供的方法。

因此谁能想到,两百年后这件数学公案会沉封再揭。阿贝尔和伽罗华关于五次方程没有根式解的证明居然是错误的!在这里要提起的是,世界上就有一小群不信邪的人,通过他们的勇气和智慧,颠覆了数学史的一段公案,开创出一片新天地。

20197月和20201月,梅晓春连续发表了两篇文章,证明当今世界最著名的数学难题--黎曼猜想不成立。在研究黎曼猜想问题的过程中,梅晓春在网上检索了大量的文献。无意中发现,上海财经大学应用数学系教授汤健儿20121月在《高等数学研究》上发表一篇文章,证明有五类特殊的五次方程存在根式解梅晓春做了认真核算,认为是准确无误的。

梅晓春还发现,北京学者郑良飞(石泉)2009年出版了一本名为《一元五次方程破解》的书。在此书中郑良飞先生他发明的特殊方法,解出大量的数字系数五次方程。山西省大同市同煤二中的范军和太原师范学院数学系的孔志宏,2009年在《在高等数学研究》上发表文章,证明某些特殊形式的六次方程存在根式解。而安徽阜阳师范学院数学系的盛兴平提出一种构造方程解的方法,给范军、孔志宏和汤健儿等人提供了启示。

事实上,尽管有阿贝尔和伽罗华的理论在前,数学家们们从来没有停止对高次方程求解的探索。比如Bruce C. Berndt等人上世纪九十年代在英国伯明翰大学做访问学者期间,在伯明翰大学图书馆的文献盒中发现该校教授George Neville Watson1886-1965)的一个的笔记本。内容是Watson教授1948年在剑桥大学一个演讲,提出解某些五次方程解的方法。他们将Watson 的方法摘录下来发表在网上,由于Watson的文章没有正式发表,是否正确仍有待审核与评论。

1991年美国数学家D. S. Dummit在《计算数学》杂志上发表文章,将某些五次方程转换成六次方程,然后再求出解。他还同时证明这类方程的解不违背伽罗华的可解群定理,但这个证明实际上是多余的和错误的。梅晓春在网上还可以找到一些的类似工作,但都没有正式发表。根据梅晓春的看法,汤健儿给出的几个解最为简单明确,具有一般意义,是不容置疑的。

用阿贝尔和伽罗华理论,显然无法解释汤健儿等人得到的高次方程根式解。另一方面,众所周知,代数学上有一条著名的定理,即代数学基本定理。该定理指出任何一元n次方程都有n个解,其中就必然包含根式解。代数学基本定理是非常基本的,据说至今已经有一百多种证明方法,可以说是不容置疑的。德国著名数学家高斯本人就给出三种证明,以至于这条定理又被称为高斯代数学基本定理。显然,阿贝尔和伽罗华的论断与代数学基本定理是矛盾的,也与实际情况完全不符。

事实上,按照现代数学的看法,已知的数可以分为有理数,无理数,复数和超越数(如圆周率)。阿贝尔和伽罗华讨论的是所谓的Q上不可约的方程,即方程的解不是有理数。而无理数和一般复数的绝对值都可以用根号来表示的,超越数则不可能是代数方程的解。如果次方程一定有解,但它的解不能用根式来表示,还能用什么来表示呢?这就使问题就变得不可思议了。因此梅晓春认为阿贝尔和伽罗华的证明可能有错,需要进行重新审查

为此,梅晓春决定研究这个问题,花了一年时间,阅读了大量的文献,包括阿贝尔和伽罗华的原始论文。结果发现所有的文献和教科书对这个问题的证明都存在概念含糊,逻辑混乱,和语焉不详的问题。

阿贝尔的证明实际上是一个逻辑循环,他把需要证明的东西当作证明的前提一个有14项的展开式被漏掉7。他还把方程的变量和自变量混为一谈,其中有些错误是相当初级的。阿贝的错误长期没有被发现,一个主要的原因是他1824年的论文太简略。阿贝尔是自费印刷他的论文,为了省钱就尽量简单,以至于人们不懂他到底在说什么。两年后的1826年,阿贝尔对他的论文做了补充说明。但很少人读过他的这份补充,无法对他的论文做出正确的判断。

梅晓春也是看了P. Pesic 写的一本名为《阿贝尔的证明》的书的末尾附录部分,才看到阿贝尔1826年的补充证明。恰恰就是在这短短的页中,梅晓春明白阿贝尔的原意,发现阿贝尔证明的错误的关键所在。而在此前读过几本专著和十几篇文章,对阿贝尔的证明仍然是云里雾里,不知所云。

伽罗华的理论与其说是证明,不如说是假说。伽罗华根据S(5)置换群没有真正规子群,断言五次方程没有根式解但这两个问题实际上没有必然的逻辑关为了证明自同构扩域群对三、四次方程的有效性,伽罗华理论实际上用方程的根的某些代数关系来代替方程的根本身。这违背自同构算符的原始定义,不但概念混肴,而且引入任意性。

梅晓春还指出对于一般的三次和四次代数方程,实际的求解过程不满足伽罗华可解群的塔式结构。其预解式关系也不存在伽罗华可解群的对称性,用可解群理论来判断高次方程是否有根式解是无效的。为了使证明能够达到一致性,就不得不编造出某些中间过程。但这中间过程实际上不存在,导致伽罗华扩域理论无效。n次代数方程的根与系数之间只存S(n)置换对性,不存在伽罗华的可解群对称性,因此伽罗华没有证明次方程没有根式解

对于伽罗华的理论,在国内网络上也常有人心存疑虑。比如有个名叫伟岗飞镖的人,写了好几篇介绍群论的科普文章。在一篇名为“伽罗华群----数学家避而不谈的秘密”的文章中,他对用群论证明五次方程没有根式解的问题做了比较详细的阐述,同时坦言没有读懂伽罗华理论,理解不了埋藏在伽罗华定理与根式扩域形式后面的逻辑关系。

知乎上有个自称中科大数学系毕业,看样子仍然在从事数学工作的人,则承认从大学时代开始至今始终没有读懂伽罗华证明,尽管老师和自己都尽了力。他们没有想到的是,问题出在伽罗华理论,不在他们自身。

相比之下,阿贝尔的证明只涉及到古典代数方程理论,还更容易理解一点。但必须去读梅晓春先生的文章,否则仍然会一头雾水,莫名其妙。五次方程是否有根式解的问题是如此的基本,相信大多数数学爱好者和所有以数学为职业的人,都有兴趣了解这个问题的进展。

总之,梅晓春论文的结论是,阿贝尔和伽罗华并没有证明一般的五次方程没有根式解。数学家需要摆脱阿贝尔和伽罗华理论的约束,继续寻找高次代数方程的一般解。面对这个如此重要的基本数学问题,一个至今仍然没有被攻克的高峰,有志者应当继续前进,努力攀登。

梅晓春论文《对一般五次方程没有根式解问题的重新认识》链接如下:

中文版https://www.doc88.com/p-90459436166617.html

英文版:https://www.scirp.org/journal/paperinformation.aspx?paperid=102824

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