“西西弗斯串（数学黑洞）”现象与其证明

                                                             □     秋 屏

 由若干个阿拉伯数字从左至右排列而成的一串数字符号，叫做数字串。如：“0”，“12”，“235”，“333”，“1403765”，“00587465132098”等等，就分别是一个数字串。显然任意一数字串中均含有若干个由一个阿拉伯数字构成的奇数或偶数。

“数学黑洞”现象：取任意一数字串，（1）先数一下其中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数，比如个数是“m”，就记作“m”。（2）再数一下其中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数，比如个数是“n”，就在“m”后面记作“n”——得出“mn”。（3）最后算一下其中所含阿拉伯数字的总个数，即把“m”加 “n”的和算出，比如和是“l”，就在“mn”后面记作“l”——得出“mnl”。经过以上三个步骤的程序操作，就将原数字串转变成了“mnl”这个数字串。此时会发现：也许按本程序操作一次，所转变成的数字串就是数字串“123”；否则，将转变成的数字串继续按本程序操作，这样反复操作下去最终总可将原数字串转变成数字串“123”。而且一旦将原数字串转变成数字串“123”后，无论再对“123”按本程序操作多少次，所转变成的数字串总还是“123”，而不会是其他形式的数字串。这就是说对任意一数字串按本程序反复操作下去，最终所转变的数字串总是“123”。因此对于这个程序以及“数字宇宙（即无限个数字串）”来说，数字串“123”就是一个永远无法逃逸的“数学黑洞”。数字串“123”也称作西西弗斯串。西西弗斯的故事出自希腊神话，天神罚科林斯国王西西弗斯将一块巨石推到一座陡峭的山顶上，但无论他怎样努力，这块巨石总是在到达山顶时却又不可避免地滚下来，于是他只得重新再推，永无休止。之所以把数字串“123”称作西西弗斯串，意思是说对于任意一数字串按本程序反复操作下去，所得的结果都是“123”，而且一旦转变成“123”后，无论再按本程序操作多少次，每次所转变的结果都会永无休止地重复着“123”。

例如：对数字串“235”按本程序反复操作。先数下其中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数，个数为“1”，就记作“1”。再数下其中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数，个数为“2”，就在“1”后面记作“2”——得出“12”。最后算一下其中所含阿拉伯数字的总个数，即把“1”和“2”的和算出，和是“3”，就在“12”后面记作“3”——得出“123”。这样原数字串就转变成了“123”。而后对“123”继续按本程序操作任意次，结果还是转变成“123”。

例如：对数字串“0”按本程序反复操作。先数下其中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数，个数为“1”，就记作“1”。再数下其中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数，个数为“0”，就在“1”后面记作“0”——得出“10”。最后算一下其中所含阿拉伯数字的总个数，即把“1”和“0”的和算出，和是“1”，就在“10”后面记作“1”——得出“101”。这样就把原数字串转变成了“101”。继续对“101”按本程序操作，先数下其中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数，个数为“1”，就记作“1”。再数下其中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数，个数为“2”，就在“1”后面记作“2”——得出“12”。最后算一下其中所含阿拉伯数字的总个数，即把“1”和“2”的和算出，和是“3”，就在“12”后面记作“3”——得出“123”。这样“101”就转变成了“123”。而后对“123”继续按本程序操作任意次，结果还是转变成“123”。

例如：对数字串“333”按本程序反复操作。先数下其中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数，个数为“0”，就记作“0”。再数下其中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数，个数为“3”，就在“0”后面记作“3”——得出“03”。最后算一下其中所含阿拉伯数字的总个数，即把“0”和“3”的和算出，和是“3”，就在“03”后面记作“3”——得出“033”。这样就把原数字串转变成了“033”。继续对“033”按本程序操作，就可将其转变成“123”。而后对“123”继续按本程序操作任意次，结果还是转变成“123”。

例如：对数字串“005874626820987688899445321068215”按本程序反复操作。先数下其中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数，个数为“22”，就记作“22”。再数下其中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数，个数为“11”，就在“22”后面记作“11”——得出“2211”。最后算一下其中所含阿拉伯数字的总个数，即把“22”和“11”的和算出，和是“33”，就在“2211”后面记作“33”——得出“221133”。这样就把原数字串转变成了“221133”。继续对“221133”按本程序操作，就可将其转变成“246”。继续对“246”按本程序操作，就可将其转变成“303”。继续对“303”按本程序操作，就可将其转变成“123”。而后对“123”继续按本程序操作任意次，结果还是转变成“123”。

如果将本程序的三个步骤作出相应改变，比如先数下数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数，记下。再数下数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数，记下。最后算一下数字串中所含阿拉伯数字的总个数，记下。这样就能形成“数学黑洞”——“213”；比如先数下数字串中所含阿拉伯数字的总个数，记下。再数下数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数，记下。最后算一下数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数，记下。这样就能形成“数学黑洞”——“312”；比如先数下数字串中所含阿拉伯数字的总个数，记下。再数下数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数，记下。最后算一下数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数，记下。这样就能形成“数学黑洞”——“321”；比如先数下数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数，记下。再数下数字串中所含阿拉伯数字的总个数，记下。最后算一下数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数，记下。这样就能形成“数学黑洞”——“132”；比如先数下数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数，记下。再数下数字串中所含阿拉伯数字的总个数，记下。最后算一下数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数，记下。这样就能形成“数学黑洞”——“231”。

为什么会形成这样的“数学黑洞”现象呢？下面就作出数学证明。

“西西弗斯串（数学黑洞）”——“123”的证明过程：

在证明之前，首先探讨下自然数和阿拉伯数字个数之间的关系。

规律一：一个大于“0”且含有“k（k为大于‘0’的自然数）”个阿拉伯数字的自然数N，其取值范围为：10^k-1≦N≦10^k-1。（此规律证明过程略）

如：1≦N≦9；10≦N≦99；100≦N≦999；1000≦N≦9999；10000≦N≦99999……

规律二：一个含有“k（k为大于‘0’的自然数）”个阿拉伯数字的自然数可表示为两个自然数之和，那么这后两个自然数中所含阿拉伯数字的个数，均不能超过“k”，却可能同时为“k”。因此，（一）当k=1时，这三个具有加法运算关系的自然数中所含阿拉伯数字的个数之和，只能有唯一的值，其值是：3k。（二）当k﹥1时，这三个具有加法运算关系的自然数中所含阿拉伯数字的个数之和，会有若干个值，而每个值均大于“3”，并且可能存在的最大值是：3k。（此规律证明过程略）

如：“0，1，2，9……”这些自然数中含有“1”个阿拉伯数字，并且它们均可表示为两个自然数之和，而在“0=0+0；1=1+0；2=1+1，2=2+0；9=4+5，9=9+0……”中，三个具有加法运算关系的自然数中所含阿拉伯数字的个数之和，只能有唯一的值，其值是：3k=3×1=3。

如：“1000，3333，9856，9999……”这些自然数中含有“4”个阿拉伯数字，并且它们均可表示为两个自然数之和，而在“1000=998+2，1000=990+10，1000=600+400，1000=1000+0；3333=3330+3，3333=3300+33，3333=2833+500，3333=3333+0，3333=1000+2333；9856=9855+1，9856=9800+56，9856=9000+856，9856=9856+0，9856=8132+1724；9999=9997+2，9999=9900+99，9999=9000+999，9999=9999+0，9999=1000+8999……”中，三个具有加法运算关系的自然数中所含阿拉伯数字的个数之和，有3或4个值，而每个值均大于“3”，并且可能存在的最大值是：3k=3×4=12。

下面便是“西西弗斯串（数学黑洞）”——“123”的证明步骤。

1.对所含阿拉伯数字的总个数不大于“3”的数字串，按本程序操作一次，则可将其转变成数字串“abc（a，b，c分别为自然数；a系前一个数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数；b系前一个数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数；c系前一个数字串中所含阿拉伯数字的总个数，且c=a+b≦3）”的形式。因其中c≦3，故可知c中所含阿拉伯数字的个数k=1。根据规律二中（一）的描述可知，c，a，b中所含阿拉伯数字的个数之和是：3k=3×1=3，即“abc” 中所含阿拉伯数字的总个数为“3”。 

2.对所含阿拉伯数字的总个数不小于“4”的数字串，按本程序操作一次，则可将其转变成数字串“abc（a，b，c分别为自然数；a系前一个数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数；b系前一个数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数；c系前一个数字串中所含阿拉伯数字的总个数，且c=a+b≧4）”的形式。因其中c≧4，故可知c中所含阿拉伯数字的个数k≧1（k系自然数）。

1）当k=1时，①根据规律一的描述可知，c的取值范围为：10^k-1≦c≦10^k-1，即1≦c≦9。又因为此时c≧4，而4﹥1，所以c的真正取值范围是：4≦c≦9。因为c的真正最小值为“4”，故前一个数字串中所含阿拉伯数字的总个数至少为“4”。②根据规律二中（一）的描述可知，c，a，b中所含阿拉伯数字的个数之和是：3k=3×1=3，即“abc” 中所含阿拉伯数字的总个数为“3”。显然“abc” 中所含阿拉伯数字的总个数，要比前一个数字串中所含的有所减少。

2）当k﹥1时，①根据规律一的描述可知，c的取值范围为：10^k-1≦c≦10^k-1。虽然此时c≧4，而10^k-1﹥4（此不等式的证明过程略），所以c的真正取值范围还是：10^k-1≦c≦10^k-1。因为c的真正最小值为“10^k-1”，故前一个数字串中所含阿拉伯数字的总个数至少为“10^k-1”。②根据规律二中（二）的描述可知，c，a，b中所含阿拉伯数字的个数之和大于“3”，并且可能存在的最大值是：3k，即“abc” 中所含阿拉伯数字的总个数大于“3”，并且最多不会超过“3k”。因为此时10^k-1﹥3k（此不等式的证明过程略），所以“abc” 中所含阿拉伯数字的总个数大于“3”，并且要比前一个数字串中所含的有所减少。

因为1）中“abc” 中所含阿拉伯数字的总个数等于“3”，而2）中“abc” 中所含阿拉伯数字的总个数大于“3”，所以此时合并而论，“abc” 中所含阿拉伯数字的总个数即不小于“3”。再由1）和2）的结论可知，只要对所含阿拉伯数字的总个数不小于“4”的数字串，按本程序操作一次，所转变成的数字串中所含阿拉伯数字的总个数不小于“3”，并且和前一个数字串中所含的相比就会减少。若所转变成的数字串中所含阿拉伯数字的总个数还不小于“4”，继续对此数字串按本程序操作，同理，再次转变成的数字串中所含阿拉伯数字的总个数不小于“3”，并且和前一个数字串中所含的相比还会减少……如此减少下去，这种减少趋势直到减少到所含阿拉伯数字的总个数是“3”时为止。

3.通过对1.和2.的结论的分析，不难想象还会进一步推导出这样的综合结论——任意一数字串“Q”，无论其中所含阿拉伯数字的总个数是多少，若按本程序操作若干次后，总可将其转变成所含阿拉伯数字的总个数为“3”的数字串“mnl（m，n，l分别为自然数；m系前一个数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数；n系前一个数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数；l系前一个数字串中所含阿拉伯数字的总个数，且l=m+n）”。

   继续对“mnl” 按本程序操作一次后，则可将其转变成数字串“pqr（p，q，r分别为自然数；p系前一个数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数；q系前一个数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数；r系前一个数字串中所含阿拉伯数字的总个数，且r=p+q）”。因为“mnl” 中所含阿拉伯数字的总个数是“3”，故“pqr”中的“r” 就等于“3”，由此可知“pqr”即是“pq3”这个数字串，且其中所含阿拉伯数字的总个数是“3”，同时3=p+q。同理，继续对“pq3” 按本程序操作一次后，则可将其转变成数字串“xy3（x，y分别为自然数；x系前一个数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的偶数个数；y系前一个数字串中所含由一个阿拉伯数字构成的奇数个数；3系前一个数字串中所含阿拉伯数字的总个数，且3=x+y）”。在“pq3”中，因为3=p+q，且“3”系奇数，故可知“p”和“q”这两个自然数一个必是奇数，一个必是偶数，即“pq3”中所含阿拉伯数字的总个数是“3”，由一个阿拉伯数字构成的偶数个数是“1”，由一个阿拉伯数字构成的奇数个数是“2”。因而“xy3”中的“x”就等于“1”，“y”就等于“2”，由此可知“xy3”即是数字串“123”。而“123”就其中所含阿拉伯数字的总个数“3”以及其中三个数字之间的关系“3=1+2”而言，恰好属于“pq3”这种组成形式，同理，所以对“123”不论再按本程序操作多少次，其结果都还会是“123”，并且不可能再转变成其他形式的数字串。也就说数字串“123”是对任意一数字串“Q”按本程序反复操作下去的最终结果。至此，“西西弗斯串（数学黑洞）”——“123”现象得证。

至于三个步骤相应改变后的程序所导致的“数学黑洞”——“213”、“312”、“321”、“132”和“231”现象的证明方法与本证明相似，这里就不再赘述。

                                     公历1993年11月12日

                                     回历1414年5月27日   初稿

                                     农历癸酉年九月廿九日

                                     公历2010年5月14日

                                     回历1431年5月30日   修订于抱真轩之南窗下

                                     农历庚寅年四月初一日

　　（此文已载数学爱好者、数学中国、科学网、博研联盟、人民网、新华网、凤凰网、数模论坛等媒体，并为“百度百科”所收录。单在新华网，截止到2011年10月8日清晨，此文的点击阅读量已达53168人次，反响甚为强烈。）

　　此数学之谜的破解（即数学证明）与类似发现，百度百科“数学黑洞”词条和“西西弗斯串”词条中均有介绍，网址链接：http://baike.baidu.com/view/914438.htm?fr=aladdin　、http://baike.baidu.com/view/2017194.htm　（可点击查阅。）

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