加载中…
个人资料
科里奥利
科里奥利
  • 博客等级:
  • 博客积分:0
  • 博客访问:159,374
  • 关注人气:449
  • 获赠金笔:0支
  • 赠出金笔:0支
  • 荣誉徽章:
相关博文
推荐博文
谁看过这篇博文
加载中…
正文 字体大小:

[转载]泛函的变分小结

(2017-09-10 11:53:39)
标签:

转载

非常完美
原文地址:泛函的变分小结作者: 了凡春秋

    感觉泛函变分是个很神奇的东西,居然能求出一个函数,想好好学一学,发现书上讲的不透彻,证明不详细,用于求解泛函变分时查公式还行,但要了解变分法的思想,简直不可能。个人感觉推导出欧拉方程,不管变分也还可以理解,但一到变动边界的时候就费解了,原因还是前面变分的物理意义没弄懂,这种情况下只能充当跟屁虫。

    不知道现在的很多老师是不懂还是故意藏着掖着,精髓不给人讲,让人摸不着头脑,可悲可叹!这个时代,人们盲目的迷信西方科学,要知道欧拉、拉格朗日再牛,那也只是用自己的智慧阐释了自然的规律,他们的起航工作固然可敬,但如果他说啥就听啥,那就是舍本逐末了,用符合自己思维方式的方法,配合前人的工作,理解自然规律才是正道,盲目的在人家的思维圈子里转啊转,悲乎!个人愚见!

    看到网上有个老师讲变分,短短数讲,通俗易懂,没有大段的公式定理迷惑人,这才是育人的态度。不过变分还是一个比较深的理论,他讲的一共一个多小时,不足以覆盖全部泛函变分的知识,但对于理解变分的发展、思想还是一个很好的教程。网址如下http://www.youku.com/playlist_show/id_3744431.html

下面是一个公式一张图,结果writer传不上来,改用一页一张图,见
http://blog.sina.com.cn/s/blog_6163bdeb0102dwn1.html 

    总结如下:

1. 泛函极值求解:

泛函如下

image

image

其中

y(x)为解函数,ε为控制因子

则解满足

image

最终得欧拉方程如下

image

image

2. 函数的变分

函数的变分即在函数上加一个扰动,注意自变量上没有扰动,如下

image

自变量的变分为0,即

image

某些量被拿来做另一些量的依据,则这些量的变分为0。

变分与微分的可交换性:

image

所以变分与微分具有可交换性

变分与积分的可交换性:

image

所以变分与积分具有可交换性

3. 函数变分的具体计算

函数的变分计算如下

image

此公式类似于全微分的表达式,但全微分中的dx、dy、dz是实实在在的移动,而δx、δy、δz是人为加上去的扰动。两者的区别在于变分是一种数学实验,但又由于变分也是微扰,故可用且需要用微分的公式计算。微扰的含义可如下理解

定义

image

其中ε很微小,α、β、γ任意变化,微小体现了微,任意变化体现了扰。

故(δx,δy,δz)是在三维空间中任意变化的向量,任意角度、任意长度(微小)。

另外δf=0是很常见的,而

image

即梯度为0。

注意:之前提到自变量的变分为0,而这里又拿自变量的变分表示函数的变分,是不是矛盾呢?我觉得这可以用“某些量被拿来做另一些量的依据,则这些量的变分为0”来解释,在求泛函时,考虑的是函数的扰动对泛函值的影响,自变量为函数的依据,其变分为0,而在具体计算函数的变分时,则需要考虑自变量的变动。(个人理解,讲座中这一点没讲到)

4. 泛函的变分

函数上加微扰,泛函上有多大的差别,故定义如下

image

上面的泰勒展开,由于后面是微量ε的高次项,故略去。

除式泛函的变分:

image

微分的变分

image

5. 多应变数泛函

image

image

两函数的变化由同一个ε控制。

image

解得

image

即为多应变量的欧拉公式,可以推广到更一般,如下

image

6. 有辅助条件的泛函变分

如果在辅助条件

image

求泛函的极值

image

最后得拉格朗日方程

image

7. 多变量的泛函

image

解得

image

即为奥氏方程

0

  • 评论加载中,请稍候...
发评论

    发评论

    以上网友发言只代表其个人观点,不代表新浪网的观点或立场。

      

    新浪BLOG意见反馈留言板 电话:4000520066 提示音后按1键(按当地市话标准计费) 欢迎批评指正

    新浪简介 | About Sina | 广告服务 | 联系我们 | 招聘信息 | 网站律师 | SINA English | 会员注册 | 产品答疑

    新浪公司 版权所有