美国数学教授Michael W Ecker在《数学“黑洞”》一文中对卡普雷卡尔常数(Kaprekar^,s  constant)描述道：取任何一个4位数（4个数字均为同一个数字的例外），将组成该数的4个数字重新组合成可能的最大数和可能的最小数，再将两者的差求出来；对此差值重复同样的过程（例如：开始时取数8028，最大的重新组合数为8820，最小的为0288，二者的差8532。重复上述过程得出8532－2358＝6174），最后总是达到卡普雷卡尔黑洞：6174。（见美国《新科学家》，1992，12，19，p38。中国《参考消息》，1993，3，14-17）

   称之“黑洞”是指再继续运算，都重复这个数，“逃”不出去。

   但是，4位数以外的其它位数的数有没有“黑洞”？如果有,它们之间有没有什么规律性？还有没有其它更多的内容? 《数学“黑洞”》没有说到。本文就是对这些进行讨论。

   我在这里把以上计算得出卡普雷卡尔常数的过程简称运算，这个现象称归敛，其结果6174称归敛结果。以下讨论，限于自然数（正整数）。

一、 4位数以外的其它位(任意位)的数的归敛

   举一些位数的数的运算结果如下：

例1－1  如卡氏常数所述，所有的4位数经运算都归敛到6174。

例1－2  所有7位数经运算都归敛到数组

8，429，652

7，619，733

8，439，552

7，509，843

9，529，641

8，719，722

8，649，432

7，519，743

例1—3  所有10位数经运算都归敛到以下2个数和5个数组：

2个数是: 1) 9，753，086，421   

         2) 6，333，176，664

5个数组是:

  1)  

8，655，264，432

6，431，088，654

        8，732，087，622

   2)    

6，433，086，654

8，332，087，662

8，653，266，432

3)

8，765，264，322

6,  543,086, 544

9，751，088，421

4)

9，775，084，221

9，755，084，421

8，321，088，762

5)

8，633，086，632

8，633，266，632

6，433，266，654

4，332，087，666

8，533，176，642

7，533，086，643

8，433，086，652

此外:

一位数的归敛数是0(没有意义)。

二位数的归敛数是9，但已不是2位数。以后的讨论均不含它们。

三位数的归敛数是495，其特殊性后面述及。

    通过运算知道，任意n位的数经运算后都能归敛到三类结果，可能是一个数（称归敛数），或是一个数组（称归敛组），或若干个数和数组兼而有之。少数归敛结果是唯一的，如3位数、4位数、7位数，其它则不是唯一的，但其个数是可以确定的有限个数。得到归敛结果以后，继续运算也是“逃”不出这些归敛结果的。任意n位的数各位数字相同时(各有9个)，运算结果为0。可视0为它们的特殊归敛结果,这个归敛结果没有意义。这个结论是本文最重要的结论之一。

    要计算任意n位数的归敛结果，理论上必须对该n位数的所有数进行运算，实际上不可能也没有必要。分析可知，只须少量运算即可得出。例如：

5位数不必运算9×10⁴ 个数(10的4次方)，只须运算54个数。

10位数不必运算9×10⁹ 个数(10的9次方)，只须运算2001个数。

17位数不必运算9×10¹⁶个数(10的16次方)，只须运算48，049个数（或更少）。等等。