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SVD对奇异矩阵求逆

(2008-08-22 12:23:39)
标签:

奇异矩阵

svd

奇异值分解

it

分类: 数学之美

定理:(奇异值分解)设Am*n阶复矩阵,则存在m阶酉阵Un阶酉阵V,使得:

                 A = U*S*V

其中S=diag(σi,σ2,……,σr),σi>0

(i=1,,r)r=rank(A)

推论:Am*n阶实矩阵,则存在m阶正交阵Un阶正交阵V,使得

A = U*S*V

其中S=diag(σi,σ2,……,σr),σi>0

(i=1,,r)r=rank(A)

1、奇异值分解非常有用,对于矩阵A(m*n),存在U(m*m)V(n*n)S(m*n),满足A = U*S*V’。UV中分别是A的奇异向量,而SA的奇异值。AA'的正交单位特征向量组成U,特征值组成S'SA'A的正交单位特征向量组成V,特征值(与AA'相同)组成SS'。因此,奇异值分解和特征值问题紧密联系。

2、奇异值分解提供了一些关于A的信息,例如非零奇异值的数目(S的阶数)和A的秩相同,一旦秩r确定,那么U的前r列构成了A的列向量空间的正交基。

关于奇异值分解中当考虑的对象是实矩阵时: S对角元的平方恰为A'A特征值的说明. (对复矩阵类似可得)

从上面我们知道矩阵的奇异值分解为: A=USV, 其中U,V是正交阵(所谓B为正交阵是指B'=B-1,B'B=I), S为对角阵.

A'A=V'S'U'USV=V'S'SV=V-1S2V

上式中, 一方面因为S是对角阵, S'S=S2,S2对角元就是S的对角元的平方. 另一方面注意到A'A是相似与S2, 因此与S2有相同特征值.

其实奇异值可以认为是一种特殊的矩阵范数!

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