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数学与算法随想(转自孟岩)

(2007-04-06 14:28:52)
分类: 数学之美

函数是无穷维的向量。平面几何里一大堆定义、定理、等式、不等式,在函数空间里都是适用的。比如著名的施瓦兹-柯西不等式,不过是平面三角里|cos(t)| <= 1 的推广而已。

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微 积分是解决“见微知著”、“管中窥豹”的问题。通过研究局部的简单问题,把握全局性的复杂问题。其间的桥梁就是牛-莱公式。在外微分形式下,奥高公式和斯 托克斯公式都是牛-莱公式,也就是说,1、2、3维牛-莱公式,用一个形式简单的格林公式可以把大学微积分课程里全部内容给概括出来。

微分方程是描述那个“局部的简单问题”的方程,其本质是一个局部规则的描述。因为可以做很多线性的假设,所以这个局部规则相对而言容易找到,因此很多学科能列出微分方程。但是只有解微分方程才能把握整体性质,而解微分方程不容易。

林群院士说,每一门学科都对应一个微分方程。

局 部的问题好解决,而大量局部问题解决了,其结果积累起来,就能达成全局目标。算法就是这样。特别是递归和迭代算法,一个递归/迭代过程本身就是一个局部规 则,其意义跟微分方程是一样的。所以很多本来是在微分方程理论里发现的定理,比如不动点定理,也用在了计算理论中。计算递归算法复杂度也要可能用到微分方 程理论。

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两个向量的点积,等于一个向量在另一个向量上的投影长度,等于两个向量对应坐标分量之积的代数和。这件事情太奇妙了,即使很容易可以证明,我还是觉得很奇妙,怎么会有这样妙的性质呢?

一 个向量对应一条有向线段,一组向量对应一组有向线段。一个非奇异矩阵呢,是否可以说对应一个n维空间的一组向量,而这组向量构成一个坐标系。一个向量乘一 个矩阵,就是求这个向量在那个矩阵所代表的新的坐标系各个轴线上的投影组成的新的向量。也可以说,矩阵是一个向量变换器。对于一个非奇异矩阵来说,有些向 量特别有意思,它们在这个坐标系里的投影组成的新的向量,正好是原来向量的lambda倍。也就是说,经过矩阵这个向量变换器的变换,原来的向量跟乘了个 实数lambda没啥分别。所以这个lambda就刻画了这个矩阵的某种特征,叫做矩阵的特征值。

矩 阵乘矩阵,就是一组向量在另一组向量张成的坐标系里的投影值。正交矩阵,就是这样的一个矩阵,它自己在自己身上投影,投影出来的结果是一个单位矩阵I。什 么时候才会出现这种情况呢?当然只有这个矩阵所代表的向量组里,所有向量两两垂直,才会出现在这种情况。所以叫“正交矩阵”,名字不是随便起的。


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