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高中解立体几何添加辅助线的技巧

(2020-03-21 20:35:18)
分类: 其他

今天给大家带来的是高中数学解立体几何添加辅助线的技巧~

一、定义法

添加辅助线——求角问题

解决异面直线夹角、线面角、二面角、面面垂直的问题时,通常需要结合定义法求解。

可是题目往往不会那么好心的为我们给出满足定义的所有条件,此时就需要添加辅助线,使已知条件满足某个定义,即把定义中缺少的线、面、体补全,所以理解并熟知立体几何当中的定义、概念很重要。

总结一下就是:按照定义条件作辅助线凑条件。

1.定义法作辅助线求异面直线所成的角

高中解立体几何添加辅助线的技巧

高中解立体几何添加辅助线的技巧

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2.定义法作辅助线求线面角

高中解立体几何添加辅助线的技巧

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3.定义法作辅助线求二面角

高中解立体几何添加辅助线的技巧

高中解立体几何添加辅助线的技巧

上述各例都是利用定义法作平行线和垂线,凑足条件后利用定义找到相应的角,结合解三角形得到相应的答案。

二、定理法

添加辅助线—证明平形&垂直问题

证明空间中的平行和垂直问题利用定义法一般较为麻烦,通常采用判定定理和性质定理。

来证明,利用定理作出辅助线,构造定理使用的条件.故定理法作辅助线即找满足定理的条件,核心为作平行线和垂线。

1.添加平行线的策略

把不在一起的线集中到一个图形中,构造三角形、梯形的中位线,平行四边形、矩形、菱形的对边等,通过图形性质就可得到所需的平行关系。

高中解立体几何添加辅助线的技巧

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2.添加垂线的策略

立体几何中的许多定理是与垂线有关的,如三垂线定理,线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理,正棱柱、正棱锥的性质,球的性质等,所以运用这些定理,就需要作辅助线把没有的垂线补全。

尤其要注意平面的垂线,因为有了平面的垂线,才能建立空间直角坐标系和使用三垂线定理或其逆定理。

作垂线方法:等腰三角形或正三角形取底边中点,连接顶点和中点;连接正方形、菱形的对角线;直立方体,可连接上下面中心;构造勾股定理等构造垂直关系。

高中解立体几何添加辅助线的技巧

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三、割补法

添加辅助线解决三视图或求体积、表面积问题

几何体的三视图,常常可以看作是由基本几何体(如正方体、长方体)切割出的几何体的三视图。

作直观图时,可以画出正方体(或长方体),在此基础上切割并想象三视图得到所需几何体的直观图。

利用辅助线或辅助面,通过“割”或 “补”把一些线面关系放到一些特殊的几何体中思考,或把原几何体分割成几个特殊的常见的简单几何体,使各种线、面关系易于理解。

高中解立体几何添加辅助线的技巧

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高中解立体几何添加辅助线的技巧

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四、中心对称问题中的对称连线法

当遇到对称几何体或几何面的问题时,如球、正三棱锥、立方体、圆、正三角形、矩形、平行四边形等,根据题意可以把对称几何体或几何面的中心几何面的外心、内心、垂心、重心和所求问题涉及的点线面连接起来,然后利用几何体或面的性质求解问题。

例如平行四边形连对角线;圆的问题向圆心连线;球的问题向球心连线等,使问题简单易解。

高中解立体几何添加辅助线的技巧

高中解立体几何添加辅助线的技巧

高中解立体几何添加辅助线的技巧

总 结

立体几何作辅助线问题,看到求角想定义,看到求证想定理,看到结论想性质.定义、定理是打开解题思路的关键,也是引入辅助线的基础。

所以运用这些定义、定理或性质时,就需要把没有的线补上.尤其要注意平面的垂线,因为有了平面的垂线,才能建立空间直角坐标系,才能使用三垂线定理或其逆定理。

对于复杂的几何体,分割成若干个常见的几何体求解;

对于抽象的几何体则补全为常见的几何体求解,即“中点琢磨中位线,定理、性质凑条件;

复杂抽象想熟体,切割添补是利器,有了垂面作垂线,对称体面中心连” 。

作辅助线的目的就是把一些分离的条件通过添加辅助线联系起来,集中在一个图形中,构造出三角形、平行四边形、矩形、菱形,或者利用三角形、梯形的中位线来作出所需要的平行线等。

这样就可以通过解三角形等,求得要求的量,将立体几何问题转化为平面几何问题来解决。

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