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二次指数平滑法摘抄(原理详细)

(2012-11-26 21:50:21)
标签:

数据

二次平滑

预测

分类: 数据建模
指数平滑法是一种特殊的加权平均法,加权的特点是对离预测值较近的历史数据给予较大的权数,对离预测期较远的历史数据给予较小的权数,权数由近到远按指数规律递减,所以,这种预测方法被称为指数平滑法。它可分为一次指数平滑法、二次指数平滑法及更高次指数平滑法。

二次指数平滑法
1、一次指数平滑的局限性
像一次移动平均法一样,一次指数平滑法只适用于水平型历史数据的预测,而不适用于斜坡型线性趋势历史数据的预测。因为对于明显呈斜坡型的历史数据,即使a数值很大(接近于1)仍然会产生较大的系统误差,我们通过表9-7来说明这一点。
表9-7中的第2栏是西部某省农民家庭平均每人全年食品支出的数据,这组历史数据呈明显的斜坡型上升趋势。根据a的确定原则,a应取得较大。现取a=0.9,但均方误差仍为45.77,而且,每期的实际值都大于预测值,因而是由于预测模型同历史数据不适应而造成的系统误差。这就证明了一次指数平滑法不适用于呈斜坡型线性变动的历史数据,要求我们对一次指数平滑法加以改进,以适应斜坡型历史数据的预测。
                               某省农民人均全年食品支出额(表9-7)
 年份  食品支出  预测值 绝对误差 
 1999  243.29  243.29*  0
 2000  277.82  243.29  34.53
 2001  320.39  274.37  46.02
 2002  389.09  315.79  73.30
 2003  444.84  381.76  63.08
 2004  496.23  438.53  57.70
 2005      
 合计      274.63
 均方误差      45.77

2、二次指数平滑法的模型
二次移动平均法的原理完全适用于二次指数平滑法,即对于斜坡型的历史数据,历史数据和一次指数平滑值的差值与一次指数平滑值和二次指数平滑值的差值基本相同。所以,我们可以先求出一次指数平滑值和二次指数平滑值的差值,然后将此差值加到一次指数平滑值上去,再加上趋势变动值就能得出近似于实际的预测值。根据这一原理,我们便可以建立二次指数平滑法的预测模型。
二次指数平滑法的预测模型为二次指数平滑法摘抄(原理详细)

式中,二次指数平滑法摘抄(原理详细)为t+T的预测值,T为t期到预测期的间隔期数,二次指数平滑法摘抄(原理详细)为参数。

二次指数平滑法摘抄(原理详细)

二次指数平滑法摘抄(原理详细)二次指数平滑法摘抄(原理详细)分别为一次指数平滑和二次指数平滑值。


二次指数平滑法摘抄(原理详细)
要对t+1期做出预测,我们只要在二次指数平滑法摘抄(原理详细)的基础上加一个变动趋势值二次指数平滑法摘抄(原理详细);要预测t+T期,只要在二次指数平滑法摘抄(原理详细)基础上加T个二次指数平滑法摘抄(原理详细),因而可得二次指数平滑法预测模型的一般表达:

二次指数平滑法摘抄(原理详细)

3、二次平滑法的应用
某省农民家庭人均全年食品支出的预测
仍以表9-7第2栏某省农民家庭平均每人全年食品支出数据,用二次平滑法a=0.8计算历年的理论预测值和2005年的预测值,并计算平均绝对误差。
解:列二次指数平滑计算表(表9-8)
 年份  食品支出  St(1)  St(2) St(1)-St(2)   at bt   Ft+T
(T=1)
绝对误差 
 (1)  (2)  (3)  (4)  (5)=(3)-(4) (6)=(3)+(5)   (7)=4*(5)  (8)=(6)+(7)  (9)=|(2)-(8)|
 1999  243.29  243.29*  243.29*  0  243.29  0    
 2000  277.82  270.91  265.39  5.52  276.43  22.08  243.29  34.53
 2001  320.39  310.49  301.47  9.02  319.51  36.08  298.51  21.88
 2002  389.09  373.37  358.99  14.38  387.75  57.52  355.59  33.50
 2003  444.84  430.55  416.24  14.31  444.86  57.244  45.27  0.43
 2004  496.23  483.09  469.72  13.37 496.46  53.48  502.10  5.87
 2005              549.94  

平均绝对误差为:

(34.53+21.88+33.50+0.43+5.87)/5=96.21/5=19.24
同表9-7的计算结果相比,平均绝对误差由45.77缩小至19.24,这说明对于斜坡型历史数据,同一次指数平滑法相比,二次指数平滑法能大大提高预测的精确度。
二次指数平滑法的预测步骤类似于二次移动平均法的步骤,读者可参考之。这里需要注意的是,在二次指数平滑法中,St(1)和St(2)不是预测值,而是为了计算最终预测值服务的平滑值,因此要注意其公式和一次指数平滑法公式的差别,同时要注意St(1)和St(2)的值在计算表中的位置。如:
二次指数平滑法摘抄(原理详细)
它们分别放在2000年和2004年的位置上,其余类推。
二次指数平滑法摘抄(原理详细)

其余类推:
2005年预测值:
F05=a04+b04=496.46+53.48=549.94元。
 
若要预测2006年的值:
F06=a04+b04T=496.46+2*53.48=603.42元。
其余类推。


除了二次指数平滑法外,还有更高次的多次指数平滑法,由于它们在实际预测中并不常用,因此忽略。

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