艾舍尔的数学画

倍受数学家们推崇的荷兰著名艺术家艾舍尔（M. C. Escher, 1898～1972）的生平可参阅阅读材料8-1。这里我们主要介绍他的平面镶嵌画。

8-4-1  平面图案镶嵌

平面的规则分割称作“镶嵌”，即将封闭平面图形互不重叠排列起来，完全覆盖平面而不留空隙。如铺在地板上的正方形地转。古希腊毕达哥拉斯学派已经发现：正多边形中只有三种能够镶嵌整个平面。如下图所示。

平面的正三角形镶嵌

平面的正方形镶嵌

平面的正六边形镶嵌

但艾舍尔对各种镶嵌都十分着迷，不管是规则的还是不规则的。他还特别钟爱所谓的“变形”（metamorphoses）：图形变化，且相互作用。

前已提及，他对于镶嵌的兴趣始于1936年旅行西班牙的时候。他花三天时间描这些镶嵌画，后来他自己声称，这是他“曾经发掘过的最丰富的灵感的源泉”。1957年，他写了一篇关于填充画的文章，文中评论说：

在数学方面，人们已经从理论上考虑过平面的规则划分……这是否意味着它仅仅是一个数学问题呢？在我看来，不是的。数学已经打开了通往一片广阔领域的大门，但它还没有进入这一领域。它对于如何打开大门的方式，比门后面的花园更感兴趣。

艾舍尔在他的平面镶嵌画中开拓性地使用了一些基本的图案，并应用了反射、滑动反射、平移、旋转等数学方法，获得了更多的图案。他还将基本的图形进行变形，成为动物、鸟和别的图形。变化后的图形服从三重、四重、或六重对称。效果既惊人又美观。一位俄国数学家对他说：“你比我们任何一位都懂得更多。”

艾舍尔镶嵌图案的构造

爬虫的平面镶嵌（1939）

鸟的规则平面镶嵌（木刻, 1949）

天鹅的规则平面镶嵌

骑马的人：平面的规则镶嵌

昼与夜（木刻, 1938）

天与水之一（1938）

在《爬虫》（Reptiles）中，状似蜥蜴的爬虫，爬出平面拼图，登上精装书，行过三角尺，跃上十二面体，胜利地朝天喷气，转上钢杯，“疲倦但满足地回到对称的平面世界里”（艾舍尔语）。艾舍尔在许多六边形镶嵌中使用这爬虫图案。

爬 虫（版画, 1943）

  正多面体

艾舍尔对于正多面体特别着迷，他的许多作品都以此为主题。我们知道，世界上只有五种正多面体——柏拉图立体：正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。在木刻画《四种正多面体》中，艾舍尔将四种正多面体画在一起，他们的对称轴是同一条直线；四种图形是半透明的，每一个图形都可以从别的图形中看出来。

四个正多面体 （木刻，黑、黄、红三色，1961）

将正多面体的每一面代以一个棱锥体，即可将正多面体可以变成许多有趣的星形体。一个很漂亮的例子是艾舍尔的《秩序与混乱》（Order and Chaos）中的十二面星体。星体居于一个透明的球体之中，其冷峻的美与四周乱糟糟的零碎杂物形成了鲜明的对照。可以看出，观察者左上方明亮的窗户映在球体中。

秩序与混乱 （版画, 1950）

引 力（1952）

相交立体也见于艾舍尔的许多作品中，最有趣者之一是木雕版画《星星》（Stars）。画中有相交立体有正八面体、四面体和正方体等。艾舍尔在多面体中画了变色龙，打破了我们通常的舒适的感性习惯，促使人们以新的眼光来看他作品中的事物。这当然是数学家之所以推崇艾舍尔作品的又一原因——因为所有数学发现的背后正有着这样一种感性的新颖性。

星星（木版画, 1948）

《双小行星》是由两座结构繁复的四面体相互交叉而组成。其中一座像个四角岩石山巅，上面怪莽野卉、猛兽异禽，象征着自然的造化。另一座则是人工的建筑，尖塔奇楼、玄梁妙壁，代表人类的工艺，整座双小行星的结构，杂乱与对称、蛮荒与文明交错鼎立，岩石的四面体尖顶又恰自工事四面体的城门突出，直堪称鬼斧神工。艾舍尔此画的设计，令人想起科幻小说中所谓的天体工程（astroengineering）；天体工程学幻想有朝一日，人类的科学技术能进步到可以改造太空中的星体，或建立配合星体的巨大工事，比如说：在太空轨道上建造环绕地球的环形城市，将小行星中心挖空再装上喷射推进引擎而成的太空船，朝黑洞倾倒垃圾藉以带动发电机的能源工厂，将数颗行星融合后重制成更硕大的人工球壳星等等。

艾舍尔完成《双小行星》时是1949年，当时他是否接触到正方兴未艾的科幻风潮，已不可考。但许多天体工程学的概念，如黑洞能源厂、小行星太空船等，都是1949年后的事。

双小行星（木刻, 1949）

若将《双小行星》视为天体工程的设计，那艾舍尔可就是先驱者了！

《四面体小行星》与《双小行星》类似，但却是机关布景更复杂的精密建构。如果说《双小行星》是天体工程的设计，那么《四面体小行星》就是太空工程的产物。电影《星际大战》中，一再被绝地武士炸毁的帝国“死星”，就是颗硕大无朋的金属人工星球。太空工程与天体工程不同之处，在于太空工程并不涉及大规模改造自然星体，而是试图建立完全人造的工事，例如：月球基地、太空站、星舰、人造星球等。

与《双小行星》相同，《四面体小行星》也有个重力中心，四个面、六个边和四个尖角上的人与物都受向心的重力场牵引，不至受力方向错乱或飘浮太空。球形的大气层包著这颗小行星，四个尖角穿出大气层——依艾舍尔的解释，尖角上的空气仍足够上面的人呼吸。再细看其精细结构，可以发现每个面上建筑物所包围的环状岛附近，都有可供小舟划行的水道，水道四通八达，可通往小行星其他的面上。水道的设计犹若威尼斯，屋宇房舍也是传统意大利式，人们自在地泛舟于水道里，徜徉在城楼上，穿梭于拱桥间，享受著美丽小世界里的阳光、空气和水。这样的设计实在是最浪漫的古典式太空工艺。

四面体小行星（木刻, 1954）

 《扁虫》里的大眼睛扁虫，悠游于一处由四面体及八面体块构筑的空间里。这样的建筑并非常见的方形砖块所砌成，亦无水平的地板或垂直的墙，并不适合人类居住，却恰恰能让扁虫睁著水汪汪的大眼，自自在在地漫游其间。而这样的建构，若不视为扁虫的水族箱，纯就空间设计而言，也极具现代化的风味。整个由多面体作为单元的构造，亦像是科幻电影里太空站的内舱。艾舍尔的其他几幅关于多面体的画作，则是更具科幻意味的设计。

扁虫（版画, 1959）

   莫比乌斯带、结、螺线

艾舍尔对于拓扑学很感兴趣。拓扑学研究的是图形在变化的时候（不撕开）的不变性质，在艾舍尔生活的时代，正是拓扑学方兴未艾的时候。莫比乌斯带或许是最早的例子。对此艾舍尔创作了许多作品。莫比乌斯带只有一侧。

如果你沿着艾舍尔的《莫比乌斯带》（之二）（Möbius Strip II）上的蚂蚁所走的路线去走，你会发现：它们根本不是在带的相反的两侧走——它们都走在相同的一侧。

莫比乌斯带（之一）（木刻、木版, 1961）

骑马的人（木版, 1946）

莫比乌斯带（之二）（木刻, 1963）

 天鹅（木刻, 1956）

结（木版，1965）

结（1966）

 螺线（木版, 1953）

有鱼的球面（木刻, 1958）

球面螺线（木刻, 1958）