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[原创]角谷猜想及其推广

(2021-09-26 09:11:38)
标签:

角谷

猜想

分类: 数学著作

角谷猜想及其推广

/大罕

 

有些数学问题,人人听得懂,个个都能试,但证明它却以很难很难.这样的问题,会吸引一大批爱动脑筋的人,领略到数学的无穷的乐趣.角谷猜想就是一例.

角谷猜想也称为库拉兹问题.在19281933年期间,德国汉堡大学教授库拉兹就最先提出并考虑过一个问题,1952年逐渐传播出去而风靡全球.一位名叫角谷的日本数学家把它带到了亚洲,所以人们将错就错地称之为角谷猜想.

什么是角谷猜想呢?任意给定一个自然数n,当它是偶数时就除以2(记为T1),当它是奇数时就乘以3再加1(记为T2),如此演算下去,最后必然得到1.

让我们随便取一个数试试:

n=7,则

[原创]角谷猜想及其推广7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1

你看,经过16个“回合”,就得到“1”.

[原创]角谷猜想及其推广施行T1T2运算的次数叫“路径长度”.路径长度并不因数字的大小变长或变短.我们再取一个较大的数n=65536,则

65536→32768→16384→8192→4096→2048→1024→512→256→128→64→

32→16→8→4→2→1

它的路径长度很短,只有16

为什么一个大的数字会很快“跌落”到1?关于观察的读者会发现:n=655362^16,所以施行16T1运算就跌落成1

数字再大一些会怎么样呢?日本有一位学者米田信夫对7000亿以内的数进行验算,结果无一例外回归到1

奇特的规律,其奥秘何在?为揭开这个谜底,有人对角谷猜想给出了形象的几何模型,试图从图的角度对这个问题加以探索.

我们把猜想中的自然数称为库拉兹数,把所有的库拉兹数的因果关系用箭头连续起来,就构成了一个硕大无比的树,树根就是数1,而4→2→1就是树的主干.这棵树的局部图示,如图1

这是一棵枝叶繁茂的参天大树.如果能证明这棵树覆盖一切自然数,或者证明这棵树是“向根”树(不会有圈或指向无穷的分支),那么就实质上证明了角谷猜想.然而,证明这些又谈何容易!

1990年,我国安徽的一位数学教师张承宇对“角谷猜想”作了一个大胆的推广.他猜想:任意给定一个自然数n,设p1=2p2=3ps为连续的s个素数,按如下规则对n进行运算:

p1=2p2=3ps中至少有一个能整除n,则用它去除n(这一运算记为T1);

p1=2p2=3ps中全都不能整除n,则用第s+1个素数ps+1乘以n再加1(这一运算记为T2),

那么,反复对n及其结果施行上述T1T2运算,最后必然得到1.

举例说明如下:

任给一个自然数11,设p1=2p2=3p3=53个连续的自然数,第4个素数是p4=57

显然,p1=2p2=3p3=5全都不能整除11,所以对11施行T2运算:

 11×7+1=78

p1=2能整除78,所以对78施行T1运算:

 78÷2=39

p2=3能整除39,所以对39施行T1运算:

 39÷3=13

p1=2p2=3p3=5全都不能整除13,所以对13施行T2运算:

13×7+1=92

…,这样下去,一併写下如下形式:

[原创]角谷猜想及其推广11→78→39→13→92→46→23→162→81→27→9→3→1

张承宇题为“角谷猜想的推广”的文章刊载于我国权威刊物《自然杂志》1990年第5期上.杂志还特别发表了“编者按”如下:

“《角谷猜想》虽出自于一位业余数学爱好者之手,但猜想有据,推断有理,显示出一定的数学功底.本刊予以刊载.若有朝一日谁能沿着该文的思路一举解决了角谷猜想,千万不要忘记了这位在艰苦条件勤奋自学的业余爱好者啊!”

“自然杂志”编者的拳拳之心,跃然纸上.

一个尚未解决的数学问题或猜想,再“推广”有意义吗?岂不是“雪上加霜”,把问题搞得难上加难吗?不,有时恰恰相反.让我们援引法国著名数学家希尔伯特(Hilbert1862-1943)一段十分深刻的论述吧:

“在解决一个问题时,如果我们没有获得成功,原因常常在于我们没有认识到更一般的观点,即眼下要解决的问题不过是一连串有关问题中的一个环节.采取这样的观点,不仅我们所研究的问题会容易得到解决,同时还会获得一种能用于相关问题的普遍方法.”

张承宇对角谷猜想的推广,正是给出了希尔伯特所说的一连串问题,而角谷猜想只是其中的一个特例(设p1=2s=1).按照这一推广,这类问题不仅与两个素数23有关,而是同整个素数数列{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,}有关,从而更深刻地揭示了这类问题的规律性.

角谷猜想的问世,是对数学家的一大挑战.尽管要解决它似乎还遥遥无期.但是我们深信,这个难题就像历史上的一些著名难题一样,总有一天,我们会赢得胜利.

[原创]角谷猜想及其推广

 

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