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[原创]2021年全国高考题压轴题详解与细评

(2021-06-16 21:22:38)
分类: 中高考
2021年全国高考题压轴题详解与细评
大罕

  2021年全国高考后,南京师大单墫教授给出了解答,并评论说“第二小题有些难,有些偏”.
      笔者研读了单墫先生的解法,发现:他的解法真的无懈可击,故令人佩服.
      不过,他写的过程相当精炼,还有些重要细节隐于不动声色的一笔带过之中,故粗心的读者往往会忽略它,不知其深意.
      本文将不厌其详地写出过程,叙其然还叙其所以然.这样做,可能略显啰嗦,但可能因通俗易懂、深入浅出,而更便于广大师生所接受.

  【试题】已知函数f(x)=x(1-lnx),
  (1)讨论f(x)的单调性;
  (2)设a,b为两个不相等的正数,且blna-alnb=a-b,证明:2<1/a+1/b

  【详解第二小题】
  欲证明2<1/a+1/b
  令x1=1/a,x2=1/b,有f(x1)= f(x2),且0
  了解f(x)=x(1-lnx)的图像,有助于问题的理解与解决.
  因为limf(x)(x→0+)=0,可设f(0)=0,f(x)在[0,1]上连续且递增,在[1,+∞)上递减,f(0)=f(e)=0,故函数f(x)的图像如图1.
  欲证2

  【完成第一步的证明】求证:2
  证明如下:上式即2-x1< x2,                  
  注意到2-x1>1,x2>1,而f(x)在(1,+∞)上递减,
  所以需证f(2-x1)>f(x2),
  但是,上式中有两个变量x1,x2,不便于构造一元函数,注意到f(x1)=f(x2),所以上式即为f(2-x1)>f(x1),这就是第一步需要证明的不等式.为此,         
  令g(x)=f(2-x)-f(x),(0
  求导,得g′(x)=ln(2-x)x
  所以g(x)在(0,1)上是减函数,故有g(x)>g(1)=0,
  即f(2-x1)>f(x1)=f(x2)成立.此时,第一步大功告成.

  【完成第二步的证明】求证:x1+x2
  证明如下,这里有两个情形:
  (1)当x2≤e-1时,则由0
⇒ x2
  (2)当x2>e-1时,又由f(x1)=f(x2)>0,得x2
  也就是说,欲证x1+x2
  当x2∈(e-1,e),且x1∈(0,1)时,有e -x2>x1,
  因为0
所以要证e -x2>x1只需证f(e -x2)>f(x1),
  但是,上中有两个变量x1,x2,不便于构造一元函数,注意到f(x1)=f(x2),所以上式即为f(e -x2)>f(x2),
这就是第二步需要证明的不等式.

  为此,令h(x)=f(e -x)-f(x),(e-1
  求导,得h′(x)=ln(e-x)x,
  以下考察二次函数u(x)=(e-x)x=-(x-e/2)^2+(e^2)/4,(e-1
其值域为(u(e), u(e-1)),即(0, e-1),
  也就是说u(x)=(e-x)x的值,开始为e-1,降至1,再降至小于1,
  因此,导函数h′(x)=ln(e-x)x的值由正而零而负,
  可见,h(x)先增后减,具体而言,由h(e-1)=f(1)-f (e-1)>0增加,然后减少,减少到h(e)=f(0)-f (e)=0,参见图3,
  所以在(e-1,e)上恒有h(x)=f(e -x)-f(x)>0,即f(e -x2)>f(x2)成立,从而f(e -x2)>f(x1)成立,继而e-x2>x1成立,所以x1+x2

   【笔者的评论】
  纵观第二小问的解答过程,不等式分两步完成证明,其间有五次转化,两次构造函数并考察导函数,第二步分两个情形讨论;全题背后有三个图像起直观示意作用.具体说来,就是:
  第一次转化:令x1=1/a,x2=1/b,,则原题化为求证2
  不等式分两步完成证明.第一步2
  第一步的第一次转化:证明不等式:2
  第一步的第二次转化:证明不等式:f(2-x1)>f(x2)=f(x1),
  第一次构造函数:g(x)=f(2-x)-f(x),(0
  第二步分两个情形:()当x2≤e-1;  ()当x2>e-1
  第二步的第一次转化:证明当x2∈(e-1,e),且x1∈(0,1)时,有e -x2>x1,
  第二步的第二次转化:当x2∈(e-1,e)时,有f(e -x2)>f(x1)=f(x3),
  第二次构造函数:h(x)=f(e -x)-f(x),(e-1
  第二步中,需对导函数的值域仔细考察:h′(x)=ln(e-x)x,
  一个小题,虽系压轴,但何胜其繁,何胜其烦? 而且,讨论的方式基本上是雷同的,似乎不是非常必要.从这个角度审视,就不难理解单墫教授为什么讲此题"有些难、有些偏"了.

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