加载中…

加载中...

个人资料
大罕
大罕 新浪个人认证
  • 博客等级:
  • 博客积分:0
  • 博客访问:629,707
  • 关注人气:610
  • 获赠金笔:0支
  • 赠出金笔:0支
  • 荣誉徽章:
相关博文
推荐博文
谁看过这篇博文
加载中…
正文 字体大小:

[原创]妙用相似,线段可比

(2021-04-30 07:30:37)
标签:

几何

相似

线段之比

分类: 几何

妙用相似,线段可比

——回复一道求助题

大罕

      下面题目来自于新浪微博里的求助(见图6).@混沌和秩序2 .

      此为典型试题,用于综合考查,而非竞赛选拔.

      该题第一小题解法较多.第二小题比较困难.第三小题需要费点笔墨才能说得一清二楚.

      【题目】

      如图,P是正方形ABCD边BC上一个动点,线段AE与AD关于直线AP对称,连接EB并延长交直线AP于点F,连接CF,

      (1)如图1,∠BAP=20° ,直接写出∠AFE的大小;

      (2)如图2,求证BE=√2CF;

      (3)如图3,连接CE,G是CE中点,AB=1,若点P从点B运动到点C,直接写出点G的运动路径长.

      【解答】

     (1) 联结DF,作AM⊥DF于M,AN⊥EF于N.

      线段AE与AD关于直线AP对称,

     ∴∠AFD=∠AFE,∴AM=AN,

      易知RtADMRtABN,∴∠DAM=∠BAN,∴∠MAN=90°,

      ∴AMFN为正方形,所以∠AFE=45°.

     (可见,条件“∠BAP=20° ”可省略.当然,利用∠BAP=20°,也可以推算出∠AFE=45°.这是因为普遍情形下成立的结论,特殊情形下也成立.)

      (2)联结AC,作AN⊥EF于N,则由知,∠FAN=45°,

      又∠CAB=45°, ∴∠CAF=∠BAN,

      AC/AB=AF/AN=√2, ∴CAF~BAN,

      ∴CF/BN=AF/AN=√2,即CF=√2BN,

      再由AB=AE,AN⊥BE,知BN=(1/2)BE,

      ∴BE=√2CF.

      (3)联结AC,取AC中点O,联结OG,则OG=(1/2)AE=1/2(常数),

      ∴点G的轨迹是以O为圆心、半径为1/2的圆弧,见图3-1.

      以下考察这段圆弧的端点:

      当点P与C重合时,点G在BC的中点处,见图3-2;

      而当P与B重合时,点G在BA的中点处,见图3-3.

      至此可知,圆弧为圆周的1/4(见图3-3蓝线部分),

      ∴点G的运动路径长为(1/4)(2π)(1/2)= π/4.

      【点评】

      此题困难之处在于:

      (1)如何添加辅助线;

      (2)如何确定不在同一三角形内的两条线段的关系;

      (3)如何确知动点的路径.

      本文标题“妙用相似,线段可比”,点明了解决第二小题的诀窍.

      原题第一、三小题要求“直接写出”结果.本文予以详说,旨在让读者更透彻理解问题.

 

[原创]妙用相似,线段可比

 

[原创]妙用相似,线段可比

 

[原创]妙用相似,线段可比

 

[原创]妙用相似,线段可比

 

[原创]妙用相似,线段可比

 

[原创]妙用相似,线段可比

0

阅读 评论 收藏 转载 喜欢 打印举报/Report
  • 评论加载中,请稍候...
发评论

    发评论

    以上网友发言只代表其个人观点,不代表新浪网的观点或立场。

      

    新浪BLOG意见反馈留言板 电话:4000520066 提示音后按1键(按当地市话标准计费) 欢迎批评指正

    新浪简介 | About Sina | 广告服务 | 联系我们 | 招聘信息 | 网站律师 | SINA English | 会员注册 | 产品答疑

    新浪公司 版权所有