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[原创]无理数“无理”吗

(2021-04-25 18:26:10)
标签:

无理数

实数

数苑漫步

[]

分类: 数学著作

无理数“无理”吗

大罕


      在数学里,一般认为√2是第一个被发现的无理数.

      历史上,由于无理数起源于几何不可公度量,非常直观,所以发现它很早.

      在公元前550年毕达哥拉斯(pythe goras)已有认识,到公元前400年左右,柏拉图(plato)时代已有相当了解.公元前330年欧几里得对于不可公度线段的存在更有系统的理论.时间上比认识零和负数要早得多.至于无理数的一般概念,开始于十六末叶受小数引入后的影响,十九世纪中叶,数学家玛洛(Meray)、威尔斯特拉斯(Welerstrass)、戴德金(Dedekind)、康托(Contor)先后以不同形式研究了无理数,这时无理数的理论基础才开始建立.

      刚进入初中的学生,可能会把有理数认为是有道理的数,把无理数则视为没有道理的数.

      让我们看看√2是怎样诞生的,就知道这个并不是没有道理的.

      设正方形ABCD的边长为1个长度单位,那么它的面积为1个平方单位.在它的对角线AC上再作一个正方形ACEF,如图1,易知正方形的面积为2个平方单位.如果AC的长度为x个长度单位,那么

      x^2=2.

      我们知道,正的整数和分数、负的整数和分数以及零,统称为有理数.现在的问题是,AC的长度可否用一个有理数表示?也就是说,有没有一个有理数它的平方等于2?

      在整数集合中,因为1^2=1,2^2=4,而x^2=2,2是介于1和4之间的数,所以在整数集合里找不到这样的数 .

      有没有一个既约分数p/q,它的平方等于x呢?试试看!

      假设(p/q) ^2=2,那么p^2=2q^2,

      这说明p^2是2的倍数,因此p必是2的倍数,于是令p=2m(m是整数),代入上式,

得(2m)^2=2q^2,

      ∴4m^2=2q^2,

      ∴2m^2=q^2,

      这又说明q^2是2的倍数,因此q必是2的倍数.

      既然p是2的倍数,q也是2的倍数,那么p与q就有公约数2,这样与假设“p/q是既给分数”矛盾!这个矛盾说明不存在一个既给分数它的平方2,换句话说就是当AB的长度取1个单位时,AC的长度不可能用有理数表示.

      以上问题告诉我们,除有理数外,肯定还存在一种“新数”,我们把这种数称为无理数,并且把正方形ACEF的边长 记为√2.

      为了便于说明问题,我们设计一个到商店买布时的场景(现实生活中是没有的):

  营业员用一把1米长的尺去量一匹红色的布料,3次恰好量完,就说这匹布有3米长.

如果另一匹蓝色的布料,用这一把尺量了3次还有剩余,剩余部分不到1米,再量这剩余部分时,就要把这把米尺的刻度了.一般米尺的刻度是以厘米(1/100米)为单位,比如剩余部分的布料长量得刻度是33,就说这匹布料有3.33米长,或333/100米长.

  如果还有1匹白色的布料,用这把米尺量了3次后还有剩余,剩余部分用这把尺的1/10、1/100、1/1000去量,都有一点点剩余.然而,把这把尺截成3等分后做成一把小尺(尺长为1/3米),再用这把小尺去量,恰好10次量完.那么,这匹布料有多长呢?回答是:10/3=3.33…米.

  以上三种情况表明,以1米为单位,这三匹布料的长都可以用有理数表示,3是整数,333/100和10/3是分数,或者说,3和3.33是有限小数,而3.33…是无限循环小数.

  其实,有限小数也可以看成无限循环小数,我们干脆说:有理数就是指无限循环小数.

  回到前面的那个问题上来.

  现在我们知道,正方形ABCD的边长为AB=BC=1,对角线长AC=√2,假定AB就是一把1米长的尺子,AC是一匹布料,能不能用这把尺子或者这把尺子的1/n (n是有理数,例如n=10,100,…,或者n=11,12,…),能恰好量完这匹布料吗?回答是否定的.就是说,无论如何这把尺子是量不完这匹布料的!

  实际上,不需要去量就可以得到答案!下面,我们介绍一种几何证明的方法,即使是没有学习平面几何的人也能从直观上看懂.

  如图2,三角形ABC是一个等腰直角三角形,AB=BC,∠ABC=90°,在斜边AC上截取AM=AB,可以看出(其实也可以证明)AC剩下的一段分MC小于AB.这表明用AB去量AC,只得1倍,剩下的线段MC小于BC(BC=AB).

  接着,我们用BC的1/n去量MC,这也相当于用MC去量BC,看MC是否是BC的几分之几.

  过M作MN⊥AC,交BC于N点,可以看出(其实可以证明),三角形NMC也是等腰直角三角形(MC=MN,∠NMC=90°),而且MN=BN,这样就有

  MC=MN=BN,

  这表明MC已经占了BC的一份了,剩下的工作是看MC占NC的几分之几.

  这时,由于三角形NMC是等腰直角三角形,也就回到了“用AB去量AC”的那种情况.  这样连续进行下去,每次都是用等腰直角三角形的直角边去量斜边,而且每次都产生一个新的更小的等腰直角三角形,…,这一度量过程中永远是有剩余的.

  这一度量过程也表明,√2是一个无限不循环小数,它是一个无理数.

  √2等于多少?√2=1.4142…,它还有一个用连分数表达的形式:

  [1,2,2,2,…],

和谐而美妙!

  在数学里,把有理数和无理数统称为实数.

  既然有理数和无理数都是“有道理”的数,那为什么称其中一个为“有理”、另一个为“无理”的数呢?

  原来,“有理数”译自“rational number”,其中ratio是“比”的意思,rational是ratio的形容词形式,所以它的合理的译名应该是“比数”.同理,“irrational number”应该译为“非比数”,而不应该译为“无理数”.

  那么,这种译法是不是误译或误解呢?这就自然而然地要追溯到这译名的来历.

  公元1607年,我国明末清初时期的学者徐光启(1562-1633),与意大利学者利玛窦(Matteo Ricci,1552-1610)合译古希腊数学家欧几里得(Euclid,公元前330年-公元前275年)的著作《Elements of geometry》,命名为《几何原本》.翻译时把ratio译成了“理”,这里的“理”就是今天的“比”.

  同时,徐光启在翻译时,还采用了“反理”(相反的比率)、“同理”(相同的比率)等词,可见他既不是误译,也不是误解.于是,“有理数”、“无理数”这样的名词一直沿用至今.同时可见,把无理数说成是“没有道理的数”,那才是真正的误解呢。

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