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[原创]"黑洞数"传奇

(2021-04-18 18:28:23)
标签:

黑洞

循环

数字

分类: 数学著作
“黑洞数”传奇
大罕
 
  在银河系的中心,有一种神秘的巨大的天体名叫“黑洞”,在它的附近,无论什么物质都会被它吞噬,就像掉进无底的深洞一样,永远也逃逸不出来.
  在浩繁的数字运算中,也有一种奇怪的现象:任意一个自然数,如果按某种特定的运算程序,持续演算下去,迟早会进入一个数或一组数的“死”循环.我们就把这一个数或一组数,形象地称为一个“黑洞”,这个“黑洞”中的数叫做“黑洞数”.
      就拿一个三位数来说吧,我们规定一种运算程序:把这个三位数的数字重新排列,将所得最大的数减去所得最小的数,再将所得的差也像这样重排,相减,如此重复进行,就把这样的运算自弃叫做“重排相减”,记为T.由于这个运算程序是美国数学家卡普雷卡尔(Kaprekar)最先提出的,所以又称为“卡普雷卡尔运算”,而且我们下面研究黑洞数时,都是施行这种运算.
  如果这个三位数的数字全相同,例如999,施行T运算:999-999=0,立刻进入了一个“黑洞”,记为(0),表示0是一个黑洞.但是,这种情况过于简单了,以下我们不再予以研究.
  对于任一个数字不全相同的三位数,例如315,我们进行T运算:
  315→531-135=396,
  396→963-369=594,
  594→954-459=495,
  495→954-495=495,…
  只须三步就进入了一个黑洞(495),495就是一个黑洞数.
  再换一个试试:
  120→210-012=198,
  198→981-189=792,
  792→972-279=693,
  693→963-369=594,
  594→954-459=495,
  495→954-459=495,…
  仅用五步还是进入了这个黑洞(495)!
  能证明这个规律吗?能!下面就是一般的证明:
  先证明三位数的情形.取三位数n=[b3b2b1](其中[ ]表示数码字排序,3,2,1是下标),不妨设b3≥b2≥b1,且b3≠b1,对n施行重排相减运算T,得
T(n)= [b3b2b1]- [b1b2b3]= [(b3-b1-1)9(10+b1-b3)]
  上式中,十位数字为9,而百位与个位数字之和为(b3-b1-1)+(10+b1-b3)=9,因此T(n)只可能是如下五个值之一:990,891,792,693,594,再对这五个数进行T运算,结果是
  990→891→792→693→594→495,
  这说明任意一个数字不全相同的三位数,最多只需五个施行T运算,就可进入黑洞(495),或称为得到黑洞数495.证毕.
  四位数的黑洞数是什么?随便举一个数,例如9998,
  9998→9998-8999=999→9990,注意:因为我们考虑的是四位数问题,所以需要把999右边补上0,成为9990,接着再施行T运算.
  9990→9990-0999=8991,
  8991→9981-1899=8082,
  8082→8820-0288=8532,
  8532→8532-2358=6174,
  6174→7641-1467=6174,…
  可见,四位数的黑洞数是6174.同样可以仿照三位数情形加以证明.
  数字不同的二位数的黑洞数是什么呢? 令人意外的是,没有黑洞数,而是在09、81、63、27、45这五个数之间循环,就像钢琴里的圆舞曲旋律不断重复,所以有人称之为卡普雷卡尔圆舞曲.现已知,k位数(k>4)有的存在几个卡普雷卡尔圆舞曲,有的存在几个黑洞数,有的两者皆有.只有三位数或四位数有唯一的黑洞数(495和6174).

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