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[原创]“走马灯数”:142857

(2021-04-12 21:38:11)
标签:

走马灯

142857

分类: 数学著作

“走马灯数”:142857

大罕

      六位数142857,看似平凡,其实它非常神秘!

    【一、为什么称为“走马灯数”】

  人们把142857称为“走马灯数”.为什么?

  142857×1=142857,

  142857×2=285714,

  142857×3=428571,[原创]“走马灯数”:142857

  142857×4=571428,

  142857×5=714285,

  142857×6=857142,

  我们发现,把142857分别乘以1,2,3,4,5,6,所得乘积仍是1,4,2,8,5,7这六个数字的重新排列,而且有明显的规律:

  如图1,外圈填的数字,按逆时针方向读出,就是原数142857.内圈填的数字是分别是乘数1,3,2,6,4,5,箭头所指就是乘积的首位数,再按逆时针方向读出乘积.

  例如,内圈的3(乘数)对着外圈的4(积的首位数),这表明142857×3=428571.

  走马灯是中国的具有传统特色的灯笼.灯笼内的蜡烛点上后,热力产生的气流驱动轮轴旋转,绘有古代武将骑马射箭的图画就随之转动,你追我赶,故名为“走马灯”.

  图1中,142857乘以1到6的结果,按次序“走马灯”般地出现,因此人们就把数142857称为“走马灯数”.

【二、乘积“走马灯”】

  设n∈N*,我们考察“走马灯数”乘以自然数n(即142857n)的规律:

  当乘数n不是7的倍数时,有

  142857 × 8 =1142856,

  积是7位数1142856,它首位数码字组成数字1,后六位数码字组成数字142856,然后

1+142856=142857,哈哈, “走马灯数”出现了!

  为方便,把此过程记为:

  142857× 8 =1142856,⇒1+142856=142857,

  类似地,有

  142857×9 =1285713,⇒1+285713=285714,

  142857×10=1428570,⇒ 1+428570=428571,

   ……

  142857×19 = 2714283,⇒2+714283=714285,

  142857×20 = 2857140,⇒2+857140=857142,

  让n大一点,如当n=123时, 有

  142857×123=17571411,⇒17+571411=571428,

  当n=142857时, 有

  142857^2=20408122449,⇒20408+122449=142857,

  依然“走马灯”啊!

  让n再大一些,如n=71234568,有

  142857×71234568=10176356680776(12位数),⇒10+176356+680776=857142.

  一般地,当142857n是一个6m+k(m∈N*,k=1,2,3,4,5)位数时,我们把此数切割成m部分,前k位数码字组成数字a,接着的6位数码字组成数字b,再接着的6位数码字组成数字c,…,那么a+b+c+…总是由数字1,4,2,8,5,7组成的6位数.

  至此,乘积“走马灯”很明显了!

【三、“走马灯数”与9的不解之缘】

  1+4+2+8+5+7=27,而2+7=9,

  142+857=999,14+28+57=99,

  以上说明,“走马灯数”本身与9密不可分!

  当乘数n是7的倍数时,有

  142857×7×1=999999,⇒0+999999=999999,

  142857×7×2=1999998,⇒1+999998=999999,

  142857×7×3=2999997,⇒2+999997=999999,

   ……,

  142857×7×6= 5999994,⇒5+999994=999999,

  142857×7×7= 6999993,⇒6+999993=999999,

  142857×7×8=7999992,⇒7+999992=999999,

  142857×7×9= 8999991,⇒8+999991=999999,

   ……,

  让n大一点,当n=7×99 时, 有

  142857×7×99 =98999901(8位数),⇒98+999901=999999,

  让n再大一些,当n=7×77777779时,有

  142857×7×77777779=77777701222221(14位数),⇒77+777701+222221=999999,

  一般地,当142857×7n是一个6m+k(m∈N*,k=1,2,3,4,5)位数时,我们把此数切割成m部分,前k位数码字组成数字a,接着的6位数码字组成数字b,再接着的6位数码字组成数字c,…,那么总有a+b+c+…=999999.

【四、“走马灯数”与循环小数】

  1÷7=0.142857142857…,循环节为142857;

  2÷7=0.285714285714… ,循环节为285714;

  3÷7=0.428571428571… ,循环节为428571;

  4÷7=0.571428571428… ,循环节为571428;

  5÷7=0.714285714285… ,循环节为714285;

  6÷7=0.857142857142… ,循环节为857142;

  从以上式子不难看出,分数p/7(p∈N)是循环小数,小数部分的循环节是数字1,4,2,8,5,7一个排列.

  为什么会这样啊?

  142857×7=999999,

  ∴0.142857×7=0.999999,

  ∴0.142857…×7=0.999999=1,

  ∴1/7=0.142857.

  再根据乘积“走马灯”的规律可知p/7(p∈N)的性质.

【五、7n个数与“走马灯数”】

  我们按如下方式,统计一下数字7的倍数的个数:

  10以内1个,

  100以内14个,

  1000以内 142个,

  10000以内 1428个,

  100000以内 14285个,

  1000000以内 142857个,

   ……

  可见,7的倍数的个数竟与“走马灯数”有关.为什么这样?联想到:142857×7=999999就释然了.

【结语】

  “走马灯数”最先在古埃及金字塔里被发现。久远的古代陵寝,身姿优雅、性子执拗的142857,人们为之惊叹不已。

  有人说:142857,这个数是通往宇宙的密码。

  有人说:142857,这个数可以把人类想疯。

  真的是这样吗?非也。

  其实,解释这个数並不需要高深的数学知识,大抵用初等数论即可。神奇的数可以玩味,切莫将它神秘化。

 


[原创]“走马灯数”:142857

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