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【原创】回文诗与回文数

(2021-04-09 08:11:10)
标签:

回文诗

回文数

分类: 数学著作
回文诗与回文数
大罕

      我们祖国是诗歌的故乡.
      回文诗是古体诗的一种形式.它按一定的规律排列成文,顺着读与倒着读,均是优美的诗篇.
 
      1600多年前,晋代十六国时期,自小聪颖过人的苏蕙(图1)与翩翩少年窦滔结为连理.窦滔任秦州刺史时因被诬告“忤旨”(即违抗旨意)被流放到沙州(今敦煌).日后七八年间,窦滔杳无音信.苏蕙对丈夫的思念与日俱增,便制成了流传千古的《璇玑图》(图2).此图的文字组成一个方阵,读法极多,纵读、横读、斜读、正读、反读,均可组成三、四、五、六、七言诗,据统计大约可读出7958首诗.
 
      北宋王安石(1021-1086)曾写过题为《泊雁》的五言回文诗:
      泊雁鸣深渚,收霞落晚川.柝随风敛阵,楼映月低弦.漠漠汀帆转,幽幽岸火燃.壑危通细路,沟曲绕平田.
      回文:
      田平绕曲沟,路细通危壑.燃火岸幽幽,转帆汀漠漠.弦低月映楼,阵敛风随柝.川晚落霞收,渚深鸣雁泊.

      北宋苏轼(1037-1101)曾作《次韵回文三首》:
      其一曰:“春机满织回文锦,粉泪挥残露井桐.人远寄情书字小,柳丝低目晚庭空.”
      其二曰:“红笺短写空深恨,锦句新翻欲断肠.风叶落残惊梦蝶,戍边回雁寄情郎.”
      其三曰:“羞云敛惨伤春暮,细缕诗成织意深.头伴枕屏山掩恨,日昏尘暗玉窗琴.”
      清代陈天锡(1841-1872)有著名的回文诗《游观山》:
      悠悠碧水傍林偎,日落观山四望回。幽寺古松孤挂月,冷泉旧井空生苔。鸥飞远浦渔舟泛,鹤伴闲亭仙客来。游径踏花烟上走,流溪远棹一帆开。

      无独有偶,数学里也有一类正整数,无论从左读到右还是从右读到左,都是同一个数,这种数称为回文数.
      最小的回文数是什么?当然非1莫属了.回文数显然没有最大的.
      一位数1,2,3,4,5,6,7,8,9都是回文数.
      先看回文数的个数. k(k≥1)位回文数有多少个呢?
      1位回文数有9个;
      2位回文数有9个,它们是:11,22,33,44,55,66,77,88,99.
      3位回文数可就多了,不妨把它排成一个数的方阵:
       101    111    121    ……    191
       202    212   222    ……    292
         ……    ……    
       909    919   929    ……    999
      这个数阵有9行10列,所以 3位回文数有90个.用同样的方法可知,4位回文数也有90个.
      再往下统计,若把回文数排成数表再数数,这种方法就太原始了.利用乘法原理可知:
      当k为奇数时,k位回文数有9×10^[(n-1)/2]个.
      当k为偶数时,k位回文数有9×10^[(n-2)/2]个;
      例如,9位回文数有9×10^[(9-1)/2] =90000个,
      10位回文数有9×10^[(10-2)/2]=90000个. 

      再看回文数的和.
      k(k≥1)位回文数的和等于多少?这也是颇有趣味的问题.
      1位回文数之和:1+2+3+…+9=45
      2位回文数之和:11+22+33+…+99=495
      3位回文数之和:
         101+ 111+121+…+191
       +202+ 212+222+…+292
       + ……     
       +909+ 919+929+…+999
       = 49500
       一般地,所有的k位回文数之和是什么?
       我们有如下结果:
    当k=1时,k位回文数之和=45;
    当k为非1的正奇数时,k位回文数之和为495×10^[(3n-5)/2];
    当k为正偶数时,k位回文数之和为495×10^[(3n-6)/2].
      例如,9位回文数的和为495×10^11=4.95×10^13,
      10位回文数的和为495×10^12=4.95×10^14.

      质数(也叫素数)是指只能被1和本身整除的自然数.下面我们看看质数中的回文数.
      k位回文数中质数有多少个呢?
   在1位回文数中,质数有4个:2,3,5,7;
   在2位回文数中,质数有1个:11;
     在3位回文数中,质数有15个:
     101,131,151,181,191,313,353,373,383,727,757,787,797,919,929;
      在4位回文数中,却没有质数!
      不仅如此,凡k为大于等于4的偶数时,k位回文数一定不是质数.为什么呢?因为它的奇数位与偶数位上的数字之和相等,这样的数必是11的倍数,当然不是质数了.
一般地,当k为奇数时,k位回文数中质数有多少个?这是有待探索的问题.
      目前已知5 位回文质数共93 个,7 位回文质数共668个,9位的回文质数共5l72个 (其中最奇特的一个是345676543).
      包含全部0~9这十个数字的最小回文质数是102345698789654320l.
      数学家已经证明,回文质数的数量是无限的.目前知道的最大回文质数共有11811位.
    回文诗能陶冶情操,回文数能锻炼智力.
      回文诗和回文数,诗苑和数苑的两朵奇葩!

参考文献
[1]长弓,回文诗,长江日报,1992.2.11.
[2]王方汉,关于回文数的两个计算公式,中学数学研究,198

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