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[原创]几何趣题与莫雷三角形

(2020-12-26 19:00:50)
标签:

趣题

莫雷定理

分类: 数学著作
几何趣题与莫雷三角形
  大罕

        如图1,求等边三角形边长x。 
        常规解法是:列方程[原创]几何趣题与莫雷三角形

   [(x√3/2)-4 √3]^2+[(x-2)/2]^2=49,
  解此方程可得:x=13.

  巧妙解法需要充分利用正三角形的对称性。
  作如图2的辅助线,在正三角形内六条长为7的线段相交的三点构成一个小的正三角形。图中点O为该正三角形的中心。所以 
    x=√3(4√3+√3/3)=13. 

  这个图形让我们不禁联想到莫雷定理.
  莫雷定理是由英国数学家富兰克·莫雷(F·Morley,1860-1937)于1904年提出的.该定理的结论十分优美.
[原创]几何趣题与莫雷三角形

   莫雷定理:将三角形的各角三等分,则每两个角的相邻的三等分线的交点构成一个正三角形. 
  已知:在ABC中,∠BAF=∠FAE=∠EAC =α,∠ABF=∠FBD=∠DBC=β,∠BCD=∠DCE=∠ECA=γ,
  求证:DEF为正三角形.
  这个定理的证明比较难.有多种证法.下面介绍一个纯几何的方法.



  证明:ABC中,∠A=3α,∠B=3β,∠C=3γ,则α+β+γ=60°,如图3.
  构造AFE,使得∠EAF=α,∠AFE=60°+β,则∠AEF=60°+γ,以EF为边向AFE外作正DEF,
  构造BDF,使得∠FBD=β,∠BDF=60°+γ,则∠BFD=60°+α,
[原创]几何趣题与莫雷三角形
  构造CED,使得∠DCE=γ,∠CED=60°+α,则∠CDE=60°+β,
  延长BD、CD分别与直线EF交于M、N,连接AB、BC、CA、MB、NC,如图4.
  在MDE中,由外角定理知
   ∠EMD=∠CDE-∠DEM =(60°+β)-60°=β,
  ∴B、D、F、M四点共圆,
  ∴∠MBD=∠EFD=60°.

  同理可证:B、D、F、M四点共圆,
  ∴∠NCD=∠FED=60°,
  ∴∠MBN=∠NCM,
  ∴B、C、N、M四点共圆,
  ∴∠NBC=∠NMC=β,且∠MCB=∠MNB=γ.
  同理可证:∠BAF=∠EAC=α,∠ABF=β,∠ACE=γ,
  从而可知∠BAF=∠FAE=∠EAC =α,∠ABF=∠FBD=∠DBC=β
[原创]几何趣题与莫雷三角形
,∠BCD=∠DCE=∠ECA=γ,且DEF为正三角形.证毕.

  本文图2,有点像莫雷定理的图形,但不属于莫雷定理所研究的对象,比起莫雷定理来它简单得多. 

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