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[原创]球截正方体一例

(2020-12-20 20:32:41)
标签:

截面

画图

画板

分类: 数学著作
球截正方体一例
大罕

   有一道立体几何题:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在正方体的表面上与点A距离为2√3/3的点的集合形成一条曲线,求这条曲线的长度.
   此题在网上有解答.多数解答没有给图,空对空叙述一番.懂者不看也懂,不懂者看了解答依然不懂.个别解答给了略图,或者有错,或者丑陋,于事无补.
   这里我们给出详细的解答.

   为方便理解,先给两个真命题:
   命题1:平面α内有一定点A,若α内动点P到A的距离为定长m,则P点轨迹是以A为圆心、以定长m为半径的圆.如图1.[原创]球截正方体一例
   命题2:平面α外有一定点A,点A在α内射影为A1,若α内动点P到A的距离为定长m(m大于|AA1|),则P点轨迹是以点A为顶点、以AA1为高线、母线长为m的圆锥的底面圆.如图2.

   回到本题.
   正方体有6个面,考察此曲线在各个面的长度,便知整条曲线的长度.
   点A是关键点.
   正方体有3个面即AB1、AC、AD1含有顶点A;另有三个面即BC1、DC1、A1C1不含顶点A.
   先看含有顶点A的面,以面AB1为例.这属于命题1的情形.考虑到1<2√3/3<√2,所以,点A的集合是一段圆弧P1P2,圆弧所在圆是大圆,它以点A为圆心、半径为2√3/3.见图1.
   易知 ∠A1AP1=π/6,⇒∠P1AP2=π/6,
    ∴圆弧P1P2=(2√3/3)(π/6)= π(√3/9).
[原创]球截正方体一例
   再看不含顶点A的面,以面A1C1为例.这属于命题2的情形.考虑到2√3/3>1,
   在RtA1AP1中,|A1P1|=√[(AP1)^2-(A1A) ^2]= √3/3.
   所以,点A的集合是一段圆弧P6P1,圆弧所在圆是小圆,它以点A1为圆心、半径为√3/3.见图3.
    ∠P1A1P6=π/2,
    ∴圆弧P6P1=(√3/3)(π/2)= π(√3/6).

   由对称性知,曲线在正方体六个面的集合分别是圆弧P1P2、P2P3、P3P4、P4P5、P5P6、P6P1,且P1P2=P3P4=P5P6,P2P3=P4P5=P6P1.
    ∴整条曲线的长度为3[π(√3/9)+π(√3/6)]= π(5√3/6).
[原创]球截正方体一例

   从这道题可以看出画图的重要性.没有画图时,一头雾水,不知从哪里下手.图画好了,
   同时我们看到,有些立体几何的图还是比较难画的.作为教师要知难而进,遇到困难的问题要多加思考,必要时要虚心求助.本文图3、图4就是成都高仲富老师画的.他用的是“玲珑画板”.一目了然,问题迎刃而解.



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