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[原创]椭圆、双曲线的弦长公式

(2020-12-09 20:42:17)
标签:

弦长

公式

提高

圆锥曲线

分类: 数学著作
椭圆、双曲线的弦长公式
 大罕

     求圆锥曲线的弦长是学习解析几何过程中常见的问题.一般用弦长公式 |AB|=(√/|a|)√(1+k^2).在运用上述公式之前,需要将直线方程代入到椭圆、双曲线的方程,加以化简.在整理的过程中,由于带有参数,故运算有些繁琐容易出错.作为参考材料,本文给出更具体的弦长公式.遇到选填题可直接套用,遇到解答题可供检验. 具体如下:
     命题1:已知直线l:y=kx+m,
     椭圆C:  x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0), 
     记δ=b^2+(a·k)^2-m^2,
     若δ=0,则直线l与椭圆C相切
     若δ>0,则直线l与椭圆C相交于A,B两点,且
       |AB|=[2ab√δ·√(1+k^2)]/[b^2+(ak)^2].

    简要的推导过程是:
  把y=kx+m代入 x^2/a^2+y^2/b^2=1,
    整理得:[(ak)^2+b^2]x^2+2a^2kmx+a^2(m^2-b^2=0,
    ∴=4a^4k^2m^2-4a^2(m^2-b^2)(a^2k^2+b^2)=4a^2b^2(b^2+a^2k^2-m^2).
  令δ=b^2+a^2k^2-m^2,
   ∴当δ=0时,直线l与椭圆C相切;
     当δ>0时,直线l与椭圆C相交于A,B两点,且
     |AB|=[2ab√δ√(1+k^2)]/[b^2+(ak)^2].

       命题2:已知直线l:y=kx+m,
       双曲线C: x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0), 
       记δ=b^2-(a·k)^2+m^2,
      若δ=0,则直线l与椭圆C相切
      若δ>0,则直线l与椭圆C相交于A,B两点,且
       |AB|=[2ab√δ·√(1+k^2)]/[b^2-(ak)^2].
    证明与命题1过程类似,这里从略.

 例1、若直线l:y=x+m与椭圆C:x^2/4+y^2/3=1相切,求m的值.
   解:a^2=4,b^2=3,k=1,
   ∴δ=4a^2b^2(a^2k^2+b^2-m^2)=4+3-m^2=0,
   则m=±√7.

   例2、求直线l:y=x+1截椭圆C:x^2/4+y^2/3=1所得的弦长|AB|.
   解:a^2=4,b^2=3,k=1,m=1,
   ∴δ=4a^2b^2(a^2k^2+b^2-m^2)=4+3-1=6,
   ∴|AB|=(4√3)(√6)(√2)]/7=24/7.

    例3、直线l过点P(1,1),双曲线 :x^2-y^2/2=1相切,求直线l的方程.
    解:设直线l:y=kx+1-k,
    a^2=1,b^2=2,m=1-k,
    令δ=b^2-(a•k)^2+m^2=2-k^2+(1-k)^2=0,
    解得k=3/2.

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