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[原创]偏题、怪题与难题

(2020-11-26 13:38:19)
标签:

偏题

怪题

难题

抽屉原则

分类: 数学著作
偏题、怪题与难题
——《怎样把课讲好•大罕数学教学随笔》第1.17节修订稿
 大罕

   什么是偏题? 超标的题是偏题,超出教材范围的题也是偏题.“标”,指《数学新课程标准》.
   偏题通常表现哪些方面呢?一是内容偏,二是方法偏.
   例:求证任给7个实数,其中必存在两个实数x,y,满足0≤(x-y)/(1+xy)<1/√3.
   下面给出些题的证明:设7个实数分别为tanθ(1), tanθ(2),…, tanθ(7),
    不妨设-π/2<θ(1)≤θ(2)≤…≤θ(7)<π/2, 将区间(-π/2,π/2)平均分成6个子区间:
     (-π/2,-π/3]∪(-π/3,-π/6] ∪(-π/6,0] ∪(0,π/6] ∪(π/6, π/3] ∪(π/3, π/2),
   由抽屉原则,上述7个θ(i) (i=1,2,…,7)中必有某两个数在同一个子区间内,不妨设θ(i), θ(i+1)在同一子区间内,
   因为0≤θ(i+1)-θ(i)< π/6,所以0≤tan[θ(i+1)-θ(i)]<1/√3,
   即0≤[tanθ(i+1)-tanθ(i)]/[ 1+tanθ(i+1)tanθ(i)]<1/√3,
   记x= tanθ(i+1),y= tanθ(i),则有0≤(x-y)/(1+xy)<1/√3.得证.
   上述证明中用到了“抽屉原则”,这对于没有受过奥数训练的学生来说这个原则是陌生的.因此,这道题应算是偏题.

   奇怪的题称为怪题.奇怪,指与他人或它物不同,或者出乎人的意料.数学上的怪题,通常是指与通常所见过的题目迥然不同的题目.这样的题会使大多数人感到出乎意料.
   传说在一所房子的墙壁上发现了一道古怪的题目:“世上竟然有这样的题,从数字和为45的一个数里,减去另一个数字和也是45的数,只有当差的数字和也是45时,这道题才算做对了…”此题的意思是:一个数字和为45的数减去另一个数字和为45的数,差也是数字和为45的数,求这三个数.
    这真是一道怪题,竟然这样出题,让人感到诧异.不过,这道题不仅有答案,而且答案还不是唯一的,
         987654321-123456789=864197532,
        1954328760-1796435208=157893552,

   有人说,不按常理出牌的题就是怪题,钻牛角尖的题也是怪题.
   解不等式:(2-x)^(1/3)+ √(x-1)>1. 
   解:令x-1=t,原不等式可化为
       (1-t)^(1/3)>1-√t, 
    两边立方,整理得: (1-t) >(1-√t)^3,
     ⇒ (1-√t)(1+√t)- (1-√t)^3>0,
     ⇒ (1-√t)[(1+√t)- (1-√t)^2]>0,
     ⇒√t(√t-1) (3-√t)>0
    解得:x∈(1,2)∪(10,+∞) 
    一个不等式中同时出现关于x的二次根式和三次根式,这在中学数学里是很少见的,很是奇怪,所以此题属于怪题.

   数学教学上的偏题、怪题都是冲着“难”字来的.
   什么是难题?数学上的难题是指那些历经长时间仍未有解决或完全解决的数学问题.例如哥德巴赫猜想的难题.此题自1742年提出后,至今近三百年,仍未完全解决.
   数学上的难题是一个硬指标,较快解决了就不算难,很长时间解决不了就算难题.而中学数学里的难题是相对的.题的难易因人而异.一个知识点你没有掌握,这道题就把你难住了.一个弯弯你转不过去,这道题也把你难住了.这些情况也算遇到了难题. 
   我们常说的难题,是相对于多数学生而言的,或者说相对于中等以上的学生而言的.在一次考试中,某题难度系数达到0.4,就算是难题了.理论上讲,难度系数越趋近于0,难度越高.以高考试题为例,难度系数代表了高考试题的难度.高考的难度系数一般在0.55—0.62之间.

    难题的分类,大致分为四类:
    一类是解题的入口隐蔽、思路迂回的;
   二类是多字母大数字的计算量较大、兼顾点头绪多的;
   三是所关联的知识点综合性强,虽基础但干扰性强从而易错的;
   四是超前,所需用的知识不在解答者所学的范围内的.
   难题不一定是偏题,偏题不一定的难题.它们的交集非空.

   中学教育普遍存在一个突出的问题,就是片面追求升学率.许多班级都采用了“高强度”的授课内容和考试内容.偏题、怪题也随之进入课堂.讲偏题或难题的课,不是好课.

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