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[原创]重视概念教学,夯实数学基础

(2020-11-24 21:22:37)
标签:

大罕

数学

教学

随笔

分类: 数学著作
重视概念教学,夯实数学基础
《大罕数学教学随笔》第1.9节修订稿
大罕

  先看一个例子:
  例1、已知函数y=log(2)(x^2-ax-a)的定义域为R,求实数a的取值范围;
    已知函数y=log(2)(x^2-ax-a)的值域为R,求实数a的取值范围.

  分析:
  定义域的意义是函数的基本概念所给出的,它是自变量x的取值范围,又因为含对数的函数的真数部分必须为正,所以函数y=log(2)(x^2-ax-a)的定义域为R等价于
  x^2-ax-a>0对x∈R恒成立,
  令f(x)=x^2-ax-a,则有
  上式⇔抛物线y=f(x) 恒在x轴上方,⇔抛物线y=f(x)的开口向上,与x轴无交点,
  故=a^2+4a<0,∴-4
  值域的意义是函数的基本概念所给出的,它是函数值y的取值范围,又因为对数函数的函数值遍取实数时只须其自变量遍取正数,所以函数的值域为R等价于x^2-ax-a遍取正数,于是又等价于
⇔抛物线y=f(x)的图像与x轴有交点, 
  故=a^2+4a≥0,∴-4

  上面例题的正确解答,关键在于定义域和值域的概念.忽视对数学概念的准确理解,会导致概念模糊.概念模糊就会做错.而且,解数学题过程中的许多毛病和错误,往往是因为概念不清造成的. 
  概念是对客观事物本质属性的概括和反映.数学概念是推导数学定理、公式的基础,正确理解数学概念是学好数学的前提. 
  我们看到,在数学教学中普遍存在的急功近利、揠苗助长的现象.比如摈弃概念的发生经过、忽略定理的推导过程、无视公式的适用范围、不要铺垫的高难度题、不讲算理只讲算法的解题技巧等等,这些鲁莽的教学方式违反了教育学心理学的规律,不仅达不到快速提分的效果,适得其反,还加重了学生的学习负担.
  重视概念教学与夯实数学基础,它们之间存在密切的关系.重视概念教学有利于夯实数学基础,夯实数学基础能帮助理解数学概念.
  重视概念教学,夯实数学基础,可以采用以下方式:

   变式教学,夯实基础。
   普通高中的一些学生,只适应在熟悉场景下解题,换了场景就失去方向,不知所措。克服这一缺点,就要加强变式教学。
  有一道十分简单的题,一些学生对数列“前n项和”的概念掌握不牢,却不会做:
  例2、数列{an}中,若a(1)+ a(2)+ a(3)+…+a(n)=2^n-1,求a(1)^2+ a(2) ^2+ a(3) ^2+… +a(n) ^2的值.
  分析:若把上面题目的条件写成:数列{an}中,S(n)=2^n-1,学生会做,这是基于在教学中我们总是用这样的方式进行训练.奇怪的是,若把条件换成“若a(1)+ a(2)+ a(3)+… +a(n)=2^n-1”就不会做了!
  “a(1)+ a(2)+ a(3)+… +a(n)=2^n-1”与“S(n)=2^n-1”不是一回事吗?
  单独看“S(n)=a(1)+ a(2)+ a(3)+… +a(n)”没有疑义,分开用就有疑虑了!说明我们在做题过程中,没有严格审视“前n项和”这个概念,存在一种错误的思维定势,从而引起误解.

  逆向思维,夯实基础。
     一些学生只适应正向思维,但是在正向思维下解题过程较难,却不会主动转换思维方式,找到最佳解决方案.说到底还是对概念的理解陷入僵化,仅从形式上加以记忆,而不是实质性地把握了概念.
  例3、求等差数列:200,199+2/3, …,-100的后200项的和。
  这是一道基础题,却能“考倒”一批学生.
  正确的想法是:
  从前往后看,200,199+2/3, …,-100,是首项为200,公差为-1/3的等差数列,要求的是“后200项的和”;
  从后往前看,-100,-100+1/3, …,200,是首项为-100,公差为1/3的等差数列,要求的是“前200项的和”;
   因此,T(200)=-40100/3.
  如果坚持从前算到后,那就比较麻烦了.
  “有穷等差数列,倒着读过来,也是等差数列”.把握了等差数列这一概念的实质,自然会有这一认识,

  一题多解,夯实基础。
  一题多解不是追求技巧,不是小题大做,而是通过多角度地审视题目,挖掘题目的内在规律,从而得到不同的解法,既巩固了数学概念,复习了数学知识,又夯实了基础,同时还进行了发散思维.
  如下例子,通过一题多解,会加深对平均值不等式的理解,促进思维的灵活性.
  例4、已知x+y=1,求x^2+y^2的最小值。
  (以下有五种解法,这里从略.)

  总之,数学概念是数学内容中最基本的内容,也是最重要的内容.我们在教学中应给予足够的重视.学好概念,夯实基础,只有这样,我们才能从根本上提高数学素养.

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