懂者恒懂，不懂者恒不懂
——例谈证明一道整除问题的表述
大罕

     以下题目是全俄数学奥林匹克八年级第4题(1963年)：
     已知(a,b)=1，证明a+b与a²+b²的最大公因数为1或2．
     这题比较简单，但采取下面的表述一的写法，结果是“懂者恒懂，不懂者恒不懂。”
     表述一：设（a＋b，a²+b²）=d，则d|(a+b)2-(a²+b²)=2ab,
     ∵ (a,b)=1，∴(d,a)=1，同理∴(d,b)=1，∴d|2，∴d=1或2．
     以上表述，精炼是精炼了，可是，不懂者恒不懂。既如此，绝非表述者之初衷。
    我们试着用下面的表述方式：
    表述二：设（a＋b，a²+b²）=d， 则d｜a+b，
    ∴d｜(a+b)²，
    又由（a＋b，a²+b²）=d知，d｜a²+b² ，
    ∴ d｜(a+b)²－(a²+b²)，
    即d｜2ab，
    由于a、b互质，因此a的质因数不能整除a＋b，所以d与a互质，同理d与b互质．
    最后，由d能整除2ab，且d与a互质及d与b互质，因此d能整除2，于是d=1或2．
    对表述一不懂的读者，请试试看，表述二是不是更便于理解？
    由是联想到，数学之所以难以自学，一个重要的原因是：写数学的人因追求“精炼”，而省却诸多细节或代以抽象的字母。于是，不懂者恒不懂，须由恒懂的懂者（老师）去指点或讲授。笔者不反对数学经典作品的精炼写法，但作为面向初高中学生的普及型的读物或文字，过多采用所谓精炼或抽象的表述，会不会违犯初衷呢？从这一层意义上说，这样的写法算不算是学生的一种哀哉呢？