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[转载]正十七边形的尺规作图法。

(2014-10-22 15:35:41)
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分类: 偶然看到
数学是如此美妙!

    数学有一种无形的魔力,让人对它着迷。多年以来生活已经让我忘记了数学曾经带来的乐趣,我也早已

忘记了许多公式和定理,但是当我见到眼前这副图时,却再次被数学的魅力所折服。下面就让我们一睹

数学瑰丽吧。

 

    这是幅图是用尺规作图画出的正十七边形。最早完成这个作图的是数学界的天才高斯。说到高斯可能很

多同学并不知道。但是提到上世纪被称为史上最伟大的物理学家爱因斯坦,却是无人不知。高斯正是爱因

斯坦的数学老师。

 

    正十七边形的尺规画法是一道困扰数学界达两千多年的未解迷题。高斯给出正十七边形的画法时年仅十

九岁。1801年,高斯证明:如果k是质数的费马数(见下面注释),那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分。高斯本人就是根据这个定理作出了正十七边形,解决了两千年来悬而未决的难题。


[转载]正十七边形的尺规作图法。
正十七边形尺规作法(无刻度):

附图:
[转载]正十七边形的尺规作图法。

步骤一:

  给一圆O,作两垂直的半径OA、OB,

  作C点使OC=1/4OB,

  作D点使∠OCD=1/4∠OCA,

  作AO延长线上E点使得∠DCE=45度。

步骤二:

  作AE中点M,并以M为圆心作一圆过A点,此圆交OB于F点,

  再以D为圆心,作一圆过F点,此圆交直线OA于G4和G6两点。

  步骤三:

  过G4作OA垂直线交圆O于P4,

  过G6作OA垂直线交圆O于P6,

  则以圆O为基准圆,A为正十七边形之第一顶点,P4为第四顶点,P6为第六顶点。

  连接P4P6,以1/2弧P4P6为半径,在圆上不断截取,即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。

 

-----------------------------正十七边形的分隔线--------------------------------------

 

正十七边形的尺规作图存在之证明:


  设正17边形中心角为α,则17α=360度,即16α=360度-α
  故sin16α=-sinα,而
  sin16α=2sin8αcos8α=4sin4αcos4αcos8α=16sinαcosαcos2αcos4αcos8α
  因sinα不等于0,两边除之有:
  16cosαcos2αcos4αcos8α=-1
  又由2cosαcos2α=cosα+cos3α等,有
  2(cosα+cos2α+…+cos8α)=-1
  注意到 cos15α=cos2α,cos12α=cos5α,令
  x=cosα+cos2α+cos4α+cos8№α
  y=cos3α+cos5α+cos6α+cos7α
  有:
  x+y=-1/2
  又xy=(cosα+cos2α+cos4α+cos8α)(cos3α+cos5α+cos6α+cos7α)
  =1/2(cos2α+cos4α+cos4α+cos6α+…+cosα+cos15α)
  经计算知xy=-1
  又有
  x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4
  其次再设:x1=cosα+cos4α,x2=cos2α+cos8α
  y1=cos3α+cos5α,y2=cos6α+cos7α
  故有x1+x2=(-1+根号17)/4
  y1+y2=(-1-根号17)/4
  最后,由cosα+cos4α=x1,cosαcos4α=(y1)/2
  可求cosα之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出。

 

---------------------------------费马数的分隔线--------------------------------------------

费马数是以数学家费马命名一组自然数,具有形式: 其中 n 为非负整数。若 2n + 1 是素数,可以得到 n 必须是2的幂。(若 n = ab,其中 1 < a, b < n 且 b 为奇数,则 2n + 1 ≡ (2a)b + 1 ≡ (−1)b + 1 ≡ 0 (mod 2a + 1)。)也就是说,所有具有形式 2n + 1 的素数必然是费马数,这些素数称为费马素数。已知的费马素数只有 F0 至 F4 五个。

 

法国数学家费马于1640年提出了以下猜想:

  揭示了十进制和二进制的关系

  可以发现

  F0=2^(2^0)+1=3

  F1=2^(2^1)+1=5

  F2=2^(2^2)+1=17

  F3=2^(2^3)+1=257

  F4=2^(2^4)+1=65537

  F5=2^(2^5)+1=4294967297

  前5个是质数,因为第6个数实在太大了,费马认为这个数是质数。

  由此提出(费马没给出证明),形如Fn=2^(2^n)+1 的数都是质数的猜想。后来人们就把形如2^(2^n)+1的数叫费马数。

 

1732年,欧拉算出F5=641×6700417,也就是说F5不是质数,宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作为一个求质数的公式。以后,人们又陆续找到了不少反例,如n=6 时,F6=2^(2^6)+1=274177×67280421310721不是质数。至今这样的反例共找到了243个,却还没有找到第6个正面的例子,也就是说目前只有n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是质数。甚至有人猜想:费马数N≥4时,费马数全是合数!

 

虽然费马数作为一个关于指数公式的尝试失败了,但有意思的是,1801年数学家高斯证明:如果费马数K为质数,那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分.高斯本人就根据这个定理作出了正十七边形.

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