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微积分存在明显的不确定性隐患

(2019-08-16 16:08:48)
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新文明王江火

现代科学

微积分

微积分主要包括微分、积分、极限原理、导数等内容。所谓的微分,是指由函数B=f(A),得到AB两个数集,在A中当dx靠近自己时,函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数很明显微分的中心思想是无穷分割。积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数而反求原函数,定积分是求图形的面积,即是求微元元素的累加和,而不定积分则是求其原函数。不难看出,微积分的基本原理与“无穷割圆术”基本一致,只不过前者更多地应用了许多符号进逻辑运算及代数运算并复杂化了而已,但这在事实上就为微积分埋下了不确定性的隐患

在微积分的推导和运算过程中,常常是先用无穷小量作为分母进行除法,然后又把无穷小量当作零,以消除那些包含有它的项。那么“无穷小量”究竟是零还是非零呢?如果它是零,怎么能用它去作除数呢?如果它不是零,又怎么能把包含它的那些项消除掉呢?微积分一开始就存在这种逻辑上的矛盾,但作为微积分发明人的牛顿和莱布尼茨对此问题并没有解决。牛顿承认他对自己的方法只作出"简略的说明,而不是正确的论证,莱布尼茨曾把无穷小量形容为一种"理想的量",这种理念为很多数学家所质疑和诟病。法国数学家洛尔称微积分为"巧妙的谬论的汇集";著名思想家伏尔泰说微积分是"精确的计算和度量某种无从想象其存在的东西的艺术",英国主教兼哲学家贝克莱讥讽无穷小量是"逝去的量的鬼魂",说微积分包含"大量的空虚、黑暗和混乱",是"分明的诡辩"

在微积分里,一个典型的基本算法就是把无穷多项相加,叫做求无穷级数之和,而无穷多项相加,是加不完的,什么是无穷级数的""是不清楚的。在很长一段时间里,人们习惯地把有限多项相加的运算规则照搬到无穷级数中,虽然也解决过许多问题,但有时竟出现了像1/2=0这样的荒谬结果,这个问题在后来的极限理论发展中有所改善。柯西于1821年出版的《分析教程》中,开始有了极限概念的基本明确的叙述,并以极限概念为基础,对“无穷小量”、无穷级数的""等概念给出了比较明确的定义,从极限的观点看,"无穷小量"就是极限为零的变量,在变化过程中,它可以是"非零",但它的变化趋向是"",无限地接近于""。应当说,极限理论对解决微积分的逻辑混乱是有帮助的,微积分在力学、天文学及其他更多的领域也取得了丰硕的成果,但仅仅将"无穷小量"规定为极限为零的变量,就能解决微积分的逻辑混乱吗?

远远没有!柯西不过是变换了种说法而已,根本问题仍然在哪儿没有任何改变。在上面的论述中,我们已经知道“无限割圆术”的计算结果与客观世界并不符合,而客观世界也不存在无限小数及无穷大。我们知道,在微观世界和极限世界中具有无限多样的所谓“无穷小量”数值,如果把“无穷小量”的这个规定作为标准并通过微积分应用于微观世界和极限世界的话,那么将有可能带来很大的错误率,一个典型事例:宇宙是由一个个极微小物质(或为极限粒子)一个个叠组合而成,但极限理论却规定“常数和无穷小量的乘积也为无穷小量”,照这个规定,那么宇宙是无法由微小物质构建的。另外,极限世界本身也是有极限的,而微积分却总是用“无穷小量”进行计算,这明显是企图以主观硬性规定客观。

我们有理由相信数学的初等形态基本上是切合客观线性现实的,但是包括微积分、空间解析几何、级数、常微分方程、复变函数、数论在内的高等数学与真实的客观世界存在很大大差距,造成这种现象的根本原因在于真实客观世界是线性存在、非标准化的,而数学特别是高等数学却是建立在主观标准化、非线性化基础上的。数学的这种现状明显与客观现实背道而驰,继续下去,必然会给人类带来认知上的巨大不确定性隐患及各种认知危机。基于此,数学特别是高等数学亟需进行一次颠覆性革命,使其全面切合客观现实,由此不仅能摆脱数学危机,也能从根本上解决高等数学给人类认知体系所带来的困扰。

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