例 5.1 某家具公司制造书桌、餐桌和椅子，所用的资源有三种：木料、木工和漆工。生
产数据如下表所示：
     每个书桌 每个餐桌 每个椅子 现有资源总数
木料  8 单位   6 单位   1 单位    48 单位
漆工  4 单位   2 单位  1.5 单位   20 单位
木工  2 单位  1.5 单位 0.5 单位    8 单位
成品单价 60 单位 30 单位 20 单位   
若要求桌子的生产量不超过 5 件，如何安排三种产品的生产可使利润最大？
用DESKS、TABLES 和CHAIRS 分别表示三种产品的生产量，建立 LP 模型。
max=60*desks+30*tables+20*chairs;
8*desks+6*tables+chairs<=48;
4*desks+2*tables+1.5*chairs<=20;
2*desks+1.5*tables+.5*chairs<=8;
tables<=5;
求解这个模型，并激活灵敏性分析。这时，查看报告窗口（Reports Window）,可以看
到如下结果。
Global optimal solution found at iteration:             3
Objective value:                                 280.0000
 
                       Variable           Value        Reduced Cost
                          DESKS        2.000000            0.000000
                         TABLES        0.000000            5.000000
                         CHAIRS        8.000000            0.000000
 
                            Row    Slack or Surplus      Dual Price
                              1        280.0000            1.000000
                              2        24.00000            0.000000
                              3        0.000000            10.00000
                              4        0.000000            10.00000
                              5        5.000000            0.000000
“Global optimal solution found at iteration: 3”表示 3 次迭代后得到全局最优
解。 “Objective value:280.0000”表示最优目标值为 280。 “Value”给出最优解中各
变量的值：造 2 个书桌（desks）, 0 个餐桌（tables）, 8 个椅子（chairs） 。所以desks、
chairs 是基变量（非 0） ，tables 是非基变量（0） 。 
“Slack or Surplus”给出松驰变量的值：
第 1 行松驰变量 =280（模型第一行表示目标函数，所以第二行对应第一个约束）
第 2 行松驰变量 =24
第 3 行松驰变量 =0
第 4 行松驰变量 =0
第 5 行松驰变量 =5
“Reduced Cost”列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微小
变动时, 目标函数的变化率。其中基变量的 reduced  cost 值应为 0， 对于非基变量 Xj, 相
应的 reduced cost 值表示当某个变量 Xj 增加一个单位时目标函数减少的量( max 型问题)。
本例中：变量 tables 对应的 reduced cost 值为 5，表示当非基变量 tables的值从 0 变为 1
时（此时假定其他非基变量保持不变,但为了满足约束条件，基变量显然会发生变化） ，最优
的目标函数值 = 280 - 5 = 275。
“DUAL PRICE”（对偶价格）表示当对应约束有微小变动时, 目标函数的变化率。输
出结果中对应于每一个约束有一个对偶价格。 若其数值为 p， 表示对应约束中不等式右端
项若增加 1 个单位，目标函数将增加 p 个单位（max 型问题） 。显然，如果在最优解处约束
正好取等号（也就是“紧约束”，也称为有效约束或起作用约束） ，对偶价格值才可能不是
0。本例中：第 3、4 行是紧约束，对应的对偶价格值为 10，表示当紧约束 
3) 4 DESKS + 2 TABLES + 1.5 CHAIRS <= 20 
变为 3) 4 DESKS + 2 TABLES + 1.5 CHAIRS <= 21 
时，目标函数值 = 280 +10 = 290。对第 4 行也类似。 
对于非紧约束（如本例中第 2、5 行是非紧约束） ，DUAL PRICE 的值为 0, 表示对应约束中
不等式右端项的微小扰动不影响目标函数。有时, 通过分析 DUAL PRICE, 也可对产生不可
行问题的原因有所了解。
灵敏度分析的结果是
Ranges in which the basis is unchanged:
                         Objective Coefficient Ranges
                           Current        Allowable        Allowable
         Variable      Coefficient         Increase         Decrease
             DESKS         60.00000              0.0              0.0
            TABLES         30.00000              0.0              0.0
            CHAIRS         20.00000              0.0              0.0
 
                                     Righthand Side Ranges
                Row          Current      Allowable       Allowable
                                  RHS        Increase        Decrease
                  2         48.00000              0.0              0.0
                  3         20.00000              0.0              0.0
                  4         8.000000              0.0              0.0
                  5         5.000000              0.0              0.0
目标函数中 DESKS 变量原来的费用系数为 60，允许增加（Allowable Increase）=4、
允许减少（Allowable Decrease）=2，说明当它在[60-4，60+20] = [56，80]范围变化时，
最优基保持不变。对 TABLES、CHAIRS 变量，可以类似解释。由于此时约束没有变化（只是
目标函数中某个费用系数发生变化） ，所以最优基保持不变的意思也就是最优解不变（当然，
由于目标函数中费用系数发生了变化，所以最优值会变化） 。 
第 2 行约束中右端项 （Right Hand  Side， 简写为 RHS） 原来为 48，当它在[48-24， 48+∞]
= [24，∞]范围变化时，最优基保持不变。第 3、4、5 行可以类似解释。不过由于此时约束
发生变化，最优基即使不变，最优解、最优值也会发生变化。
灵敏性分析结果表示的是最优基保持不变的系数范围。由此，也可以进一步确定当目标
函数的费用系数和约束右端项发生小的变化时，最优基和最优解、最优值如何变化。下面我
们通过求解一个实际问题来进行说明。

例 5.2 一奶制品加工厂用牛奶生产 A1,A2 两种奶制品，1 桶牛奶可以在甲车间用 12 小时
加工成 3 公斤 A1，或者在乙车间用 8 小时加工成 4 公斤 A2。根据市场需求，生产的 A1,A2全
部能售出，且每公斤 A1获利 24 元，每公斤 A2 获利 16 元。现在加工厂每天能得到 50桶牛奶
的供应，每天正式工人总的劳动时间 480 小时，并且甲车间每天至多能加工 100 公斤A1，乙
车间的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以
下 3 个附加问题： 
1） 若用 35 元可以买到 1 桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛
奶？ 
2）  若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？ 
3） 由于市场需求变化，每公斤 A1的获利增加到 30 元，应否改变生产计划？
模型代码如下：
max=72*x1+64*x2;
x1+x2<=50;
12*x1+8*x2<=480;
3*x1<=100;
求解这个模型并做灵敏性分析，结果如下。
  Global optimal solution found at iteration:             0
  Objective value:                                 3360.000
 
                       Variable           Value        Reduced Cost
                             X1        20.00000            0.000000
                             X2        30.00000            0.000000
                            Row    Slack or Surplus      Dual Price
                              1        3360.000            1.000000
                              2        0.000000            48.00000
                              3        0.000000            2.000000
                              4        40.00000            0.000000
 
Ranges in which the basis is unchanged:
                                 Objective Coefficient Ranges
                              Current        Allowable        Allowable
Variable      Coefficient         Increase         Decrease
                 X1          72.00000         24.00000         8.000000
                 X2          64.00000         8.000000         16.00000
                                  Righthand Side Ranges
                Row          Current        Allowable        Allowable
                                  RHS         Increase         Decrease
                   2        50.00000         10.00000         6.666667
                   3        480.0000         53.33333         80.00000
                   4        100.0000         INFINITY         40.00000
结果告诉我们：这个线性规划的最优解为 x1=20，x2=30，最优值为 z=3360，即用 20 桶
牛奶生产 A1, 30 桶牛奶生产 A2，可获最大利润 3360 元。输出中除了告诉我们问题的最优解
和最优值以外，还有许多对分析结果有用的信息，下面结合题目中提出的 3 个附加问题给予
说明。 3 个约束条件的右端不妨看作 3 种“资源”：原料、劳动时间、车间甲的加工能力。
输出中 Slack or Surplus 给出这 3 种资源在最优解下是否有剩余：原料、劳动时间的剩余
均为零，车间甲尚余 40（公斤）加工能力。
    目标函数可以看作“效益”，成为紧约束的“资源”一旦增加，“效益”必然跟着
增长。输出中 DUAL PRICES 给出这 3 种资源在最优解下“资源”增加 1 个单位时“效益”
的增量：原料增加 1 个单位（1 桶牛奶）时利润增长 48（元） ，劳动时间增加 1 个单位（1
小时）时利润增长 2（元） ，而增加非紧约束车间甲的能力显然不会使利润增长。这里，“效
益”的增量可以看作“资源”的潜在价值，经济学上称为影子价格，即 1桶牛奶的影子价格
为 48 元，1 小时劳动的影子价格为 2 元，车间甲的影子价格为零。读者可以用直接求解的
办法验证上面的结论，即将输入文件中原料约束 milk）右端的 50 改为51，看看得到的最优
值（利润）是否恰好增长 48（元） 。用影子价格的概念很容易回答附加问题 1） ：用 35 元可
以买到 1 桶牛奶，低于 1 桶牛奶的影子价格 48，当然应该作这项投资。回答附加问题 2） ：
聘用临时工人以增加劳动时间，付给的工资低于劳动时间的影子价格才可以增加利润，所以
工资最多是每小时 2 元。 
目标函数的系数发生变化时（假定约束条件不变） ，最优解和最优值会改变吗？这个问
题不能简单地回答。上面输出给出了最优基不变条件下目标函数系数的允许变化范围：x1
的系数为（72-8，72+24）=（64，96） ；x2 的系数为（64-16，64+8）=（48，72） 。注意：x1
系数的允许范围需要 x2系数 64 不变，反之亦然。由于目标函数的费用系数变化并不影响约
束条件，因此此时最优基不变可以保证最优解也不变，但最优值变化。用这个结果很容易回
答附加问题 3） ：若每公斤 A1的获利增加到 30 元，则 x1系数变为 30×3=90，在允许范围内，
所以不应改变生产计划，但最优值变为 90×20+64×30=3720。 
下面对“资源”的影子价格作进一步的分析。影子价格的作用（即在最优解下“资源”增加
1 个单位时“效益”的增量）是有限制的。每增加 1 桶牛奶利润增长 48 元（影子价格） ，但是，
上面输出的 CURRENT RHS 的ALLOWABLE INCREASE 和 ALLOWABLE DECREASE 给出了影子价
格有意义条件下约束右端的限制范围： milk）原料最多增加 10（桶牛奶） ，time）劳动时
间最多增加 53（小时） 。现在可以回答附加问题 1）的第 2 问：虽然应该批准用 35 元买 1
桶牛奶的投资，但每天最多购买 10 桶牛奶。顺便地说，可以用低于每小时 2 元的工资聘用
临时工人以增加劳动时间，但最多增加 53.3333 小时。 
需要注意的是：灵敏性分析给出的只是最优基保持不变的充分条件，而不一定是必要条件。
比如对于上面的问题，“原料最多增加 10（桶牛奶）”的含义只能是“原料增加 10（桶牛
奶）”时最优基保持不变，所以影子价格有意义，即利润的增加大于牛奶的投资。反过来，
原料增加超过 10 （桶牛奶） ， 影子价格是否一定没有意义？最优基是否一定改变？一般来说，
这是不能从灵敏性分析报告中直接得到的。此时，应该重新用新数据求解规划模型，才能做
出判断。所以，从正常理解的角度来看，我们上面回答“原料最多增加 10（桶牛奶）”并
不是完全科学的。