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分析的那些人和事(三)

(2009-01-31 14:11:11)
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杂谈

19世紀數學家們發現了一系列奇怪的現象:連續不可微函數的存在,連續函數的級數不是連續函數,不鑄鍛單調的連續函數,具有有界的但不是Riemann可積的導數的函數,可求長的但不符合微積分中弧長定義的曲綫。爲了弄清這些概念,一元或多元實變函數論終於誕生了。它促使人們對函數空間有了更深刻的理解。

 

事實上,關於積分概念在1894年得到了第一次擴充,但它不是從剛才所說的解決問題中得到的。Stieltjes1894年發表了他的《連分數的研究》,所涉及到的方法都是獨創性的。他爲了表示一個解析函數序列的極限,引進了一種新的積分,就是Stieltjes積分。Stieltjes積分中,微分的對象不再是自變量x本身,而是一個沿著直線分布的任意函數;Newton,Darboux積分中對x軸上的所有點取相同的權重計算Darboux和;Stieltjes則推廣了直線上各點的權重分布。不過他的積分并未被廣為采用;而在當今,他的積分方法已經成為概率論中最最基本的工具。

 

Lesbegue積分沿著另一個方向對積分進行了擴充。Lesbegue積分的基礎就是對函數的不連續點集進行度量,這催生了容量理論。容量理論基於下面的思想:假設E是按照某種方式分布在直線上的點集,它們總可以被一些區間所覆蓋,E中的點或者是這些子區間的內點,或者為它們的端點。我們可以不斷縮短這些區間的總長度,也可以添加其它區間,但是保證區間總長度減小,而E始終包含于這些區間當中。這些區間總長度的下確界,就定義為集合E的外容量。外容量的概念是Du Bois-Reymond首先在他的《一般函數論》中提出的。Stolz和Cantor將區間用高維空間中的矩集代替,從而將外容量的概念推廣到Rn空間中。

 

容量的概念揭露了正容量的無處稠密集的存在。類Cantor集,又稱Hanark集合,就是這樣一個例子。以這樣一個集合作為不連續點集的函數是Riemann不可積的。為解決這一問題,Peano進一步引入了一個內容量的概念,將二維平面上圖形的內容量定義為包含在圖形內部多邊形面積的上確界,並且指出:不連續點集的外容量和內容量相等時,函數是Riemann可積的。Jordan則進一步建立了更為完善的容量理論,他定義,若集合的內容量、外容量相等,則這個外容量稱為容量。Jordan將容量概念拓展到Rn空間中,指出容量的有限可加性:有限個不相交的點集的容量是他們各自容量之和。注意:這個結論看似顯然,但對於外容量是不成立的。Borel對容量工作作出了大量改進。Borel不再用有限個區間去覆蓋點集,而是直接利用Cantor的結論,將開集的測度定義為開集的構成區間的長度之和。他進一步利用可數可加性和余集的性質導出了Borel可測集合空間。這個測度空間是站在sigma代數的高度建立的,也成為測度論沿用至今最完備的理論體系。

 

Lesbegue積分最終由Borel的學生Henri Lesbegue建立。他首先將Borel測度理論進行了推廣,綜合了Peano、Jordan的測度概念,用可數個區間覆蓋點集,以這些區間的長度和的最大下界作為點集的測度。在此基礎上,他證明了測度的可數可加性。Lesbegue可測集是對Borel集合的一個擴成,同時他注意到零測集和不可測集的存在。在Lesbegue測度的基礎上,Lesbegue繼續定義了可測函數,假設A,B是函數分f(x)的最大下界和最小上界,现在對區間[A,B]作分劃;如果函數值落在任意一個子區間內所對應的x的取值集合都為可測集的話,就定義f(x)為可測函數。此時,就可以定義Lesbegue積分了:對[A,B]作無窮細分,并對細分區間中任意值和該區間對應自變量點集的測度之乘積求和,得到的和式極限,就定義為Lesbegue積分值。

 

容易發現,Lesbegue積分和Riemann積分的定義是很相似的:前者對函數值作細分,求和式;後者是對自變量的取值範圍作細分求和。這貌似相似的兩種做法,Lesbegue卻將積分的範圍大大推廣了。例如Dilichlet函數,在Lesbegue積分意義下可積的,但是對於Riemann積分卻是不可積的。另一個例子是無界函數,Riemann意義下廣義積分要遵循嚴格的收斂條件,但是在Lesbegue意義下計算則簡單得多。

 

Lesbegue積分的貢獻不止這些。首先是關於函數項級數的積分。Lesbegue證明,可測函數項級數也為可測函數;在此基礎上建立的控制收斂定理,將級數積分的條件大大簡化了。Fourier級數方面,Lesbegue建立了Riemann-Lesbegue定理;在1906年的《三角函數講義》中,Lesbegue提出:Fourier級數的積分收斂性不依賴于Fourier級數本身的一致收斂性。

 

其次是不定積分方面的定理。Riemann意義下可積函數的被積函數可以是沒有導數的;反過來,Volterra在1881年證明:存在函數的導數Riemann不可積。因為引入了可測函數的概念,Lesbegue首先證明:Lesbegue可積函數的原函數是幾乎處處可導,且導函數幾乎處處和原來函數相等;反之,如果函數可微且導數有界,則導數是Lesbegue可積的。但是對於導數無界的情形卻相當複雜。Lesbegue先把自己限制在導出數處處有限的情形,證明了此時的函數為有界變差函數;此外他提出了絕對連續函數的概念,即函數在開集U上的全變差隨著U測度趨於0而趨於0.Lesbegue最終證明,對於絕對連續函數,Newton-Leibniz公式成立。這個最終結果發表在1904年的著作中。

 

第三個貢獻是多重積分理論。他在1902年給出了這方面的一個結果,不過最有名的結果是Guido Fubini給出的。1910年,Lesbegue將單重積分的導數結果推廣到多重積分。

 

Lesbegue積分打開了分析學的一扇大門,開闢了函數論的一片新的沃土。Johann Randon結合Lesbegue和Stieltjes兩人的結果,提出了Lesbegue-Stieltjes積分;該推廣統一了n維Euclid空間點集上不同的積分概念,而且還擴展到像函數空間那樣更普遍的空間,這種普遍的概念在概率論、譜理論、調和分析中得到了廣泛的應用。

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