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分析的那些人和事(二)

(2009-01-03 10:40:42)
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杂谈

數學史上最使人驚奇的事實之一,是實數系的邏輯基礎竟然遲至19世紀後頁才建立起來。在那以前,即使是正負有理數和無理數最簡單的性質也沒有邏輯地建立。實數的精確解構和性質沒有人考慮過,卻被代數和分析中廣泛地應用,這不得不說是一個矛盾。分析的嚴密化促進了人們對實數系建立完備的系統。

 

建立實數系的另一個動機,是要保證數學的真實性。非Eucid幾何創造后的一個後果是:幾何失去了它的真實身份,基於直覺建立起的Eucid公理體系被推翻了;但是在通常算數意義上建立的數學,仍被認為是在某種哲學意義上是真是的。Gauss將算數區別于幾何的依據就在於他認為只有算數是純先驗的。這就需要建立一種嚴密的數系基礎,來對抗那些懷疑代數和分析真實性的力量。

 

19世紀中葉,關於代數無理數和超越無理數的工作,是朝著更好地了解無理數的方向前進了一部。一個代數數是滿足多項式方程的任何一個實數或負數。由於19世紀關於方程解的研究,代數無理數和超越無理數的區別工作取得卓越進展。Liouville在1844年給出了一個具有一般形式的超越數的形式;1873年Hermite繼續給出了e是超越數的證明。Legendre早先猜測pi是超越的;Ferdinand在1882年用與Hermite類似的方法證明了這個猜測。化圓為方是幾何作圖問題的最後一個項目,但是所有可用尺規作出的數都是代數數,pi的超越性證明,推出了化圓為方尺規作圖是不可實現的。但是超越無理數的研究還沒有窮盡;關於Euler常數是否屬於超越無理數,至今仍然是一個迷。

 

無理數的意義與性質預先假定了有理數系的建立,而在當時有理數系的論證還并未嚴密化。不過這些正確性在無理數系建立之後得到了補充。Weierstrass以前的人都認為,無理數是一個以有理數為項的無窮序列的極限。但是這個極限,在無理數有了定義之前,是不存在的;這是一個邏輯上的矛盾。Weierstrass在1859年開始給出了一個理論,但隨後沒有發表;1869年Charles Meray也給出一個無理數的定義。不過更為廣泛接受的定義是George Cantor給出的。他關於無理數定義的關鍵是從有理序列中定義了一類基本序列,因為該序列是非完備化的,所以其中某些序列可以導出無理數;事實上,任何一個無理數都可用如上一個基本序列對應。該定義實際上證明了實數系的完備性。另一個理論是Dedekind1872年發表的。他是在直線劃分的啟發下定義無理數的,提出每一個實數都對應一種分割,該分割將有理數分成兩類,使其中一類中任何一個數都小於另一類中的每一個數。這樣的分割不都是由有理數確定的;那些不由有理數確定的分割,就對應了無理數的存在。他通過分割的定義進一步導出了分割的運算,相應地規定了無理數的運算。Dedekind的方法,似乎和偏序集的構造有某種共通之處。

 

有理數理論的建立大多數是基於普通整數的本質與屬性,將有理數看座整數對。Weierstrass首先采用了這種做法;但是他認為沒有必要澄清整數的邏輯,認為只要承認自然數,建立實數就不需要進一步的公理了。以Kronecker為代表的數學家認為,自然數這樣的基本東西,已經不可能再加以邏輯的分析了:“上帝創造了整數,其它一切都是人造的。”但是Dedekind關於整數理論的研究依然具有先導作用。Peano基於Dedekind的成果,在《算數院裡新方法》中,首先完成了整數公理化體系的建立。他關於自然數的五個公理是:(1)1是自然數;(2)1不是任何其它自然數的後繼者;(3)每一個自然數a都有一個後繼者;(4)如果a與b的後繼者相等,則a與b相等;(5)若一個自然數的子集S含有1,且含有它全體元素的後繼者,則S包含全部自然數。

 

另一種處理實數系的邏輯基礎是Hilbert建立的。他把如上從自然數系演繹出實數系的方法稱為原生法(genetic method),與之對應地對整個實數系建立公理化體系。他給出的公理體系包含了近世代數中群、環、域建立的思想,但是這些公理體系的相容性很難證明。

 

有了整數系的建立,有理數、進而實數系的基礎問題都完備了。在Hamilton將複數建立於實數基礎上之後,在用有理數定義無理數之後,有理數的邏輯終於建立起來。這歷史的順序實質上和數系的發展邏輯恰好相反。

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