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扭曲的空间

(2007-12-16 10:47:05)
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学习公社

数学思想

儿童少年教育

趣味数学

初中

育儿/亲子

成长

分类: 教育

爸爸夏天的时候曾经到中越边境的一个瀑布参观,看到那里的苗银饰物实在便宜,花三十五元顺便买回来了一对银镯子。银镯子式样很古朴和简单,就是把细银条旋扭相连,在接口处刻上龙头和龙尾。看上去就像是一条龙张大嘴再咬自己的尾巴。

妞妞很喜欢这对镯子,常常拿在手里玩。这天她又把这对镯子带在手上写作业,突然抬起头问爸爸,“一条龙咬吃自己的尾巴,不停地吃,最后会剩下点什么?”说完狡谲地看着爸爸,心里想,这样的难题可是不容易想出来呀!

“最后就剩一张嘴和一个胃,因为所有的龙身体都被这张嘴吃到胃里面了。”爸爸把正在看的书放到一边,哈哈大笑起来。“刚才是和妞妞开玩笑的,最后应该剩下一个环,就是一个轮胎的样子。”

“我觉得应该只剩下一个肉球球。”妞妞也开始眯起眼睛笑。

“应该是一个中间有眼的肉球球,这和一个环是一样的。”爸爸突然想起了拓扑学上的等价变换,今天的趣味数学就讲一些有趣的拓扑话题好了。“如果我们有一个橡皮球,你能不能把他捏成一个环?”

“可以,在中间打一个洞,然后用劲拉开就行了。”妞妞的回答依旧是很快。

“如果我们不许打眼,不许粘接,可以变形,就像真的橡胶一样,当然弹性可以非常大,有一门数学专门研究这样东西的几何,我们叫它拓扑学。”

“橡胶几何!”妞妞觉得很好玩。

“对,它的别名就叫橡胶几何。比方说一只橡胶手套,如果橡胶手套的弹性非常大,我们把从它的开口处使劲往外拉,结果能拉成什么呢?”

“拉、拉、拉、。。。”妞妞嘴里念叨,“先是一个五指山。再拉,山头没了。哇噻,是一块橡胶膜!”妞妞的话里透出兴奋,这样的问题原来为什么没有想过呢?

“对,非常正确!”爸爸说,“我们还是来看一个神奇的纸带吧!”说着,爸爸拿出剪刀,在一张复印纸上剪下了一条,把对边扭转180°,然后用胶水把它们粘好。

“这就是非常非常有名的麦比乌斯带。”爸爸的话语中有许多的骄傲。“不要小看这个带子,它的出现直接导致了扭曲空间的研究,而空间扭曲对于我们认识宇宙有极大的意义。它是由德国数学家麦比乌斯(August Ferdinand Moumbius,1790~1868)发现的。还是先让你看看它的神奇之处吧!”

爸爸把纸带交给妞妞,“你拿出彩笔,不要提笔,沿着纸带的中间画一条直线给爸爸看看!”

妞妞开始小心地画,心里想不知道爸爸又在设计什么古怪的问题。画着画着,妞妞的笔慢了下来,继而惊叫一声,“咦!怎么把两边都画上了?”

“这就对了,麦比乌斯带只有一个面!既是正面也是反面,或者说既没有正面,也没有反面。有趣吧?如果你用一把漆刷沿着纸带一个方向刷漆,那么你将发现,当漆刷回到起点时,它已整个纸带的表面都涂满漆。这可是和我们的直觉完全不一样,对不对?输送带的一面会有较多的磨损,而在麦比乌斯输送带中,两面可以均匀分担磨损,传送带的寿命可以延长一倍。”爸爸也不等妞妞回答,接着说:“你拿剪刀沿你刚才画的中线剪断,看看又会发生什么有趣的事。”

妞妞小心地沿着纸带方向把麦比乌斯带剪成两半,果然像爸爸所说,神奇的事情发生了!它居然还是一条完整的带子,不过是长了一些、卷曲多一圈而已。妞妞惊讶得说不出话,好半天都没有明白到底发生了什么事。“咦,太奇怪了!明明是剪破了,怎么还是连在一起呢?”


爸爸在妞妞剪纸带的时候,又做了一个麦比乌斯纸带,交给妞妞,让她把纸带三等分一下。妞妞这次作的很快。爸爸说:“你再用剪刀沿两根画线剪开,你觉得应该是个什么结果呢?”

妞妞说:“应该还是一个圈圈吧!先剪一刀后,变成一个大圈,再剪一刀变成一个更大的圈。让我剪剪看。”

剪刀妞妞灵巧的小手里面不停地张合,原以为会需要开两个口下剪子,不想不用剪子离开纸,直接转了两个圈,竟然把三等分的两条线都剪完了。剪开的结果居然是两个互相套住的纸圈。一个是原来大小只是变窄了的麦比乌斯带,另一个圈子是把麦比乌斯带剪成两半之后一样的大纸圈。

“好奇怪哟!”妞妞放下手中的剪刀,望着爸爸,希望爸爸能够说点不一样的东西,让妞妞一下子明白是怎么回事。

“一个平面我们说它是2维空间,二位空间可以是平坦的,比如我们原先说到过的桌面,一个穷大的桌面;也可以是扭曲的,就像麦比乌斯带。麦比乌斯带只是扭曲了180度,剪断的麦比乌斯带,却卷曲了540度。它实际上可以卷曲更多的度数。如果二维世界可以卷曲,那么三维世界为什么就不会卷曲呢?”

“三维世界的卷曲,又是什么样子呢?”妞妞无法想象。

“我们生活在地球上,多少年都认为为大地是平的,可它确个是大球面,要知道世界比我们的直觉要复杂有趣得多。一个卷曲的三维世界爸爸也没有办法给你描述,不过我们可以想象一些有趣的事情。”爸爸和了一口水。

“二维世界里是有左右的,还记得吗?它只是没有高度。如果我们沿麦比乌斯带走,走一圈回到出发点的时候,你就会发现左右已经易位了,不信你可以试试。这就是说,沿着卷曲的二维世界旅行,你自己并没有旋转,空间的扭曲让二维世界里的生物左右调换了。在三维世界里,如果我们的宇宙空间在什么地方呈现出麦比乌斯圈式的扭曲,那么我们的宇航员会沿着这个空间旅行回来的时候,会发现自己所有的左右都掉了个,就像镜子里面一样。左右手、左右眼换边,心脏在右胸腔里跳动,一切都在,可是却有全都不同!麦比乌斯圈是多么的神奇呀!”

“爸爸,上下为什么不掉个呀?”妞妞惊讶之余也会给爸爸出难题,不过爸爸这次不太愿意自己来回答,而且好像一下子也没有什么好办法回答,“你照镜子的时候为什么镜子里的像不是头朝下,脚朝上呢?这个问题你作为思考题好不好?”

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