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谈谈线性代数群的基本结构

(2014-02-24 15:44:46)
标签:

数学笔记

代数几何

线性代数群

仿射代数族

strongart

分类: Strongart的数学笔记
有些网友说代数几何太难学,这里我建议他们可以学一点代数群。有些学院派可能会引用标准的学科分类,说这个代数群属于几何不变量理论。实际上,问题没有那么复杂的,线性代数群可以被嵌入到矩阵群里面,本质上就是一个代数几何观点下的线性代数,其中代数几何就只是自带的入门版。

 

 下面我就来谈一下线性代数群的基本结构,为了避免枝节问题,约定这里的基域k是特征为零的代数闭域。

 所谓代数群,实际上就是代数簇加上一个群结构。彷射代数簇加上群结构就是仿射代数群,假若是射影代数簇加上群结构则成为Abel簇,更一般的概型加上群结构的话就是群概型了,后者可以通过函子表示来刻画,在一定意义上可以等价于Hopf代数。这样的函子表示自然也可以反映在线性代数群上,最常见的是k的加法群G_a由k[T]表示,k的乘法群G_m由k[T,1/T]表示,那么GL_n(V)又该如何表示呢?答案是表示为k[T_11,T_12,…,T_nn,1/det(T_ij)].

 一般加上群结构之后,就会表现出一种各向同性的性质,也就是说在各个点的几何性质都是一样的,比如光滑流形加上群结构得到李群,其切丛就有可平凡化的性质。对于彷射代数族而言,可以导出彷射代数群一定是非异的,假若它有某个奇点的话,那么在群作用下就会使得所有的点都是奇点,但一般彷射代数族的奇点至少是低一维的!

 我们再看仿射代数群的一般结构。首先是仿射代数群与线性代数群的等价性。仿射代数群总有忠实的有限维表示,因此我们把任何仿射代数群G直接嵌入到GL_n内,也就是说仿射代数群都是矩阵群,因此又称为线性代数群。由此可得,并不是所有的李群(改变拓扑之后)都能变成线性代数群,比如SL(2,R)就没有有限维的忠实表示。

  

 对于GL_n的任何元素s,我们均有Jordan分解,把它分解成彼此交换的半单(semisimple)与幂零(nilpotent)元素的和,进而得到半单与幂单(unipotent)元素的交换积:

       a=a_sa_u=a_ua_s

这里群G内的半单元素是指其极小多项式有不同的根,换句话说它可以在k上对角化,而幂单元素则是指x-1是幂零的。

 线性代数群G是半单元素与幂单元素分别组成集合G_s与G_u,对于交换的线性代数群而言,G_s与G_u都是G的闭子群,我们有

        G=G_s×G_u

线性代数群可以按照代数簇继承连通性,若G是连通的,那么G_s与G_u也都连通。

可以证明,一维的连通线性代数群一定是交换的,因此只能是G_s或G_u,分别对应G_m与G_a.

所有元素均为半单的线性代数群称为可对角化群,G是可对角化群 iff 其特征X*(G)是有限型Abel群且是k{G}的k-基 iff G的任何有理表示都是一维表示的直和。这里的特征X*(G)是所有G到G_m的代数群同态的集合。连通的可对角化群称为环面。G是环面 iff G同构于某个(G_m)^n iff X*(G)是自由Abel群。

X*(G)是自由Abel群可以解释为可对角化群的刚性,实际上我们有著名的刚性定理:设G与H是可对角化群,X是连通代数簇,若代数簇的态射f:G×X→H满足对任何给定的x∈X,g→f(g,x)是代数群同态,则f(g,x)与x无关。利用刚性定理,可以证明若H是G的可对角化子群,则其N_G(H)°=Z_G(H),且N_G(H)/Z_G(H)有限。

     

就一般的线性代数群而言,我们有如下的基本框架:        谈谈线性代数群的基本结构                  线性代数群的连通性实际上就等价于对应彷射代数簇的不可约性,由此我们可以得到G_a、G_m都是连通的。对于稍微复杂一点的情形,我们需要使用一个类似粘合的引理:设G_i是G的一族闭连通子群,则由G_i生成的子群H是闭连通的,并且H可以表示为有限个G_i的积的形式,由此我们可以得到SL_n的连通性。与李群的结论类似,当char(k)≠2时,0(n)不是连通的代数群,它由真连通分支SO(n).

由陪集的同胚性质和仿射代数群的Noether性质,我们可以得到线性代数群G只有有限个不连通分支,即G/G^0是有限群,其中G^0是G的包含单位元的连通分支。这个主要是因为在群作用下,各陪集之间相互同胚,但G是Noether拓扑空间,因此G^0的陪集只能是有限多个。

连通的线性代数群半单的,是指它没有除1之外的闭连通交换正规子群,其典型例子就是SL_n.我们可以更系统的系统根基定义,先记R(G)(或R_u(G))为G的最大正规连通可解(或幂单)子群,称为G的根(或幂单根),若G的根(或幂单根)为1,则称G是半单的(或约化的).事实上,幂单根就是根的幂单部分,这里根的意义就在于G的根(或幂单根)就是G是所有Borel子群(或幂单子群)的交的单位连通分支。仔细观察我们会发现,所有子群的交导致子群的正规性,这是由其子群的共轭结构决定的。

若连通线性代数群G是半单的,则有G=(G,G);G是约化的,则R(G)=Z(G)°是环面且与(G,G)的交有限,进而有G=Z(G)(G,G). 显然,SL_n是半单的,GL_n是约化的,但不是半单的。

线性代数群的可解与幂零性通过导子列平行于抽象群定义,对于连通可解群G,我们有所谓的Borel不动点定理,即G在任何完备簇上的作用一定有不动点。由此可以得到著名的Lie-Kolchin定理:设G是连通可解代数群,则存在x∈GL_n,使得xGx^(-1)是上三角矩阵。对于上三角矩阵而言,一个交换子运算将使得对角线元素全部为0,再做一次交换子运算就使得次对角线元素为零,……,直到最后得到平凡群为止。

我们可以认为上三角矩阵T_n代表着可解群的规范图像,对线性代数群的很多问题都可以通过共轭转为到规范图像来进行处理,下面还讲看到关于关于可解与幂单代数群规范图像的一个正合列。

由Lie-Kolchin定理,我们可以得到连通可解群的正规序列:对任何连通可解群G,存在一个由正规子群构成的序列G=G_0≥G_1≥…≥G_n=1,使得各G_i/G_(i+1)是G_a或G_m。此时,G的幂单元素集G_u是连通正规幂单闭子群,且G/G_u是环面;假若G还是幂零的,那么我们有  G=G_s×G_u.

在连通可解子群内,有很多与半单元素与极大环面有关的良好性质。

 1)共轭性:连通可解子群内的极大环面都是共轭的。

 2)半单元素包含性:每个半单元素都包含在某个极大环面内。

 3)代数簇的同构:若T是G内的极大环面,则G=TG_u,其中T内包含了G的所有半单元素。

 4)正规化子连通:若H是连通可解群G的半单元素组成的子群,则H包含在某个环面内,且有Z_G(H)=N_G(H)连通。特别的,连通可解群内半单元素的正规化子是连通的。假若去掉半单条件,那么结论就未必成立,比如G=PGL_2(C), s=diag{i,-i}时,Z_G(s)就不是半单的(参见[1] Ex18.1)

 5)唯一性条件:G有唯一极大环面 iff G是幂零的。

若线性代数群的所有元素都是幂单的,即满足G=G_u,则它称为幂单的。显然,幂单群一定是幂零的。G是GL_n的幂单子群 iff 存在x∈GL_n,使得xGx^(-1)∈U_n,这里U_n是对角线为1的上三角矩阵。这样我们可以得到关于可解子群与幂单子群规范图像的短正合列:1→U_n→T_n→D_n→1. 

    

下面我们看线性代数群的Borel子群与抛物(parabolic)子群,与之相关的一个代数几何概念叫做完备簇。代数簇X是完备的,若对任何簇Y,X×Y→Y的射影的闭映射。可以证明,射影簇一定是完备簇,仿射簇是完备簇 iff 它是有限个点,这两个结论从对应的拓扑空间来看是相当自然的。

P是代数群G的抛物子群,若G/P是完备簇,此时G/P也是射影簇。抛物子群的典型形象就是分块的上三角矩阵,因此只要不是恰好上三角,即所谓的Borel子群,那么它都是不可解的。可以证明:连通代数群G包含真抛物子群 iff G是非可解的。

G的极大闭连通可解子群称为G的Borel子群。这里的连通性是不可省略的,Borel子群并不简单就是极大可解子群,当char(k)≠2时,取G=SO(n),n≥3,那么同构于(Z/2Z)^(n-1)的对角子群就不在Borel子群内。

值得注意的是,上述例子的背景空间是并不是GL_n,实际上这里有个相对性的关系。对于可解、幂单这样的概念而言,常常是直接定义的,即便真要追溯背景空间,一般也都是被默认为GL_n,但这里的Borel子群与抛物子群就不是如此了。

Borel子群都是抛物子群,而且G的闭子群是抛物的 iff 它包含某个Borel子群。事实上,Borel子群恰恰位于抛物子群与可解子群的交界处,它是最小的抛去子群,又是一定意义上的最大的可解子群。利用Borel子群,我们可以把很多一般线性代数群的问题转化为可解线性代数群的问题。

G的Borel子群B有下列良好的基本性质:

1)共轭性:Borel子群的共轭是Borel子群,所有Borel子群都是共轭的。

2)元素包含性:G=∪(g∈G)gBg^(-1),即G的何元素均包含在某个Borel子群内。

3)正规化子条件:N_G(B)=B,这个结论对一般抛物子群也成立。

4)中心保持性:Z(G)°≤Z(B)≤Z(G),特别当G连通时,有Z(B)=Z(G).

5)自同构唯一性:若σ∈Aut(G)满足σB=B,则σ=id


最后简单提一下Cartan子群C,实际上它就是极大环面的中心化子的单位分支C=Z_G(T)°,利用Borel子群转化为可解情形,可以证明它实际上就是连通的。此外,Cartan子群C总是幂零的且C=N_G(C)°,所包含的环面上的正则元素,对此本文就不再详细阐述了。


 扩展阅读:

 [1] Humphreys J E, Humphreys J E. Linear algebraic groups[M]. New York: Springer, 1975. (线性代数群的入门读物,主要处理基域良好的情形,本文主要参考书)

 [2] Borel A, Bass H. Linear algebraic groups[M]. New York: Springer-Verlag, 1991. (线性代数群的经典参考书,有一些比较深入的内容,后半部分涉及一些有理性问题)

 [3] Springer T A. Linear algebraic groups[M]. Springer Science & Business, 2010. (比较新的线性代数群参考书,有一定的难度)

 [4] Tauvel P, Rupert W T. Lie algebras and algebraic groups[M]. Berlin: Springer, 2005. (交换代数、代数几何、李代数和代数群的四合一,有本科抽象代数基础即可阅读)

[5] DUMAS D. LINEAR ALGEBRAIC GROUPS[J]. 2000. (迷你版的线性代数群综述文章)
[6] J.S. Milne正在不断更新的网络讲义:www.jmilne.org/math/CourseNotes/ala.html. (内容相当丰富,包括了很多细致的讨论)
Jordan分解在一定意义上就是所谓极分解,请看博文:漫谈泛函与代数群中的极分解定理

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