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分类: Strongart的数学笔记 |
这里群G内的半单元素是指其极小多项式有不同的根,换句话说它可以在k上对角化,而幂单元素则是指x-1是幂零的。
线性代数群可以按照代数簇继承连通性,若G是连通的,那么G_s与G_u也都连通。
可以证明,一维的连通线性代数群一定是交换的,因此只能是G_s或G_u,分别对应G_m与G_a.
所有元素均为半单的线性代数群称为可对角化群,G是可对角化群
X*(G)是自由Abel群可以解释为可对角化群的刚性,实际上我们有著名的刚性定理:设G与H是可对角化群,X是连通代数簇,若代数簇的态射f:G×X→H满足对任何给定的x∈X,g→f(g,x)是代数群同态,则f(g,x)与x无关。利用刚性定理,可以证明若H是G的可对角化子群,则其N_G(H)°=Z_G(H),且N_G(H)/Z_G(H)有限。
就一般的线性代数群而言,我们有如下的基本框架:
由陪集的同胚性质和仿射代数群的Noether性质,我们可以得到线性代数群G只有有限个不连通分支,即G/G^0是有限群,其中G^0是G的包含单位元的连通分支。这个主要是因为在群作用下,各陪集之间相互同胚,但G是Noether拓扑空间,因此G^0的陪集只能是有限多个。
连通的线性代数群半单的,是指它没有除1之外的闭连通交换正规子群,其典型例子就是SL_n.我们可以更系统的系统根基定义,先记R(G)(或R_u(G))为G的最大正规连通可解(或幂单)子群,称为G的根(或幂单根),若G的根(或幂单根)为1,则称G是半单的(或约化的).事实上,幂单根就是根的幂单部分,这里根的意义就在于G的根(或幂单根)就是G是所有Borel子群(或幂单子群)的交的单位连通分支。仔细观察我们会发现,所有子群的交导致子群的正规性,这是由其子群的共轭结构决定的。
若连通线性代数群G是半单的,则有G=(G,G);G是约化的,则R(G)=Z(G)°是环面且与(G,G)的交有限,进而有G=Z(G)(G,G).
线性代数群的可解与幂零性通过导子列平行于抽象群定义,对于连通可解群G,我们有所谓的Borel不动点定理,即G在任何完备簇上的作用一定有不动点。由此可以得到著名的Lie-Kolchin定理:设G是连通可解代数群,则存在x∈GL_n,使得xGx^(-1)是上三角矩阵。对于上三角矩阵而言,一个交换子运算将使得对角线元素全部为0,再做一次交换子运算就使得次对角线元素为零,……,直到最后得到平凡群为止。
我们可以认为上三角矩阵T_n代表着可解群的规范图像,对线性代数群的很多问题都可以通过共轭转为到规范图像来进行处理,下面还讲看到关于关于可解与幂单代数群规范图像的一个正合列。
由Lie-Kolchin定理,我们可以得到连通可解群的正规序列:对任何连通可解群G,存在一个由正规子群构成的序列G=G_0≥G_1≥…≥G_n=1,使得各G_i/G_(i+1)是G_a或G_m。此时,G的幂单元素集G_u是连通正规幂单闭子群,且G/G_u是环面;假若G还是幂零的,那么我们有
在连通可解子群内,有很多与半单元素与极大环面有关的良好性质。
若线性代数群的所有元素都是幂单的,即满足G=G_u,则它称为幂单的。显然,幂单群一定是幂零的。G是GL_n的幂单子群
下面我们看线性代数群的Borel子群与抛物(parabolic)子群,与之相关的一个代数几何概念叫做完备簇。代数簇X是完备的,若对任何簇Y,X×Y→Y的射影的闭映射。可以证明,射影簇一定是完备簇,仿射簇是完备簇
P是代数群G的抛物子群,若G/P是完备簇,此时G/P也是射影簇。抛物子群的典型形象就是分块的上三角矩阵,因此只要不是恰好上三角,即所谓的Borel子群,那么它都是不可解的。可以证明:连通代数群G包含真抛物子群
G的极大闭连通可解子群称为G的Borel子群。这里的连通性是不可省略的,Borel子群并不简单就是极大可解子群,当char(k)≠2时,取G=SO(n),n≥3,那么同构于(Z/2Z)^(n-1)的对角子群就不在Borel子群内。
值得注意的是,上述例子的背景空间是并不是GL_n,实际上这里有个相对性的关系。对于可解、幂单这样的概念而言,常常是直接定义的,即便真要追溯背景空间,一般也都是被默认为GL_n,但这里的Borel子群与抛物子群就不是如此了。
Borel子群都是抛物子群,而且G的闭子群是抛物的
G的Borel子群B有下列良好的基本性质:
1)共轭性:Borel子群的共轭是Borel子群,所有Borel子群都是共轭的。
2)元素包含性:G=∪(g∈G)gBg^(-1),即G的何元素均包含在某个Borel子群内。
3)正规化子条件:N_G(B)=B,这个结论对一般抛物子群也成立。
4)中心保持性:Z(G)°≤Z(B)≤Z(G),特别当G连通时,有Z(B)=Z(G).
5)自同构唯一性:若σ∈Aut(G)满足σB=B,则σ=id
最后简单提一下Cartan子群C,实际上它就是极大环面的中心化子的单位分支C=Z_G(T)°,利用Borel子群转化为可解情形,可以证明它实际上就是连通的。此外,Cartan子群C总是幂零的且C=N_G(C)°,所包含的环面上的正则元素,对此本文就不再详细阐述了。
Jordan分解在一定意义上就是所谓极分解,请看博文:漫谈泛函与代数群中的极分解定理