萌男哲学家与宅男大学教授

    先看Takesaki的Theory of operator Algebre I第III章的引理6.2，翻译成中文如下：

    引理6.2：（设K是实l.c.s.E的紧凸子集）若f是K上实值下半连续仿射函数，则存在A(K;E)（E上所有连续仿射函数在K上的限制函数集）内的增网{f_i}i∈I，使得f(x)=limf_i(x),x∈E.

    这个引理的证明和主题关系不大，所以暂不讨论，我们假定引理成立。后面接着就是一个推论6.3，在条件上做了两点改动：1.把f改成了连续函数，2.把网{f_i}i∈I改成了序列{f_n}；结论则是把逐点收敛加强到了一致收敛，然后说证明只要用原来定理结论加上Dini定理就OK了。

    我们开始考虑Dini定理，严加安的《测度论讲义（第二版）》中的定理5.1.13给出了Dini定理的如下版本：

    Dini定理：设X为一紧拓扑空间，f_n为X上的一列非负上半连续函数，且f_n↓0，则f_n一致收敛于零。

    如果Dini定理只对序列成立，那么推论中条件2加强是有道理的。可仔细检查一下Dini定理的证明就会发现，对于序列而言，X只需要可数紧性就足够了，而紧致的要求恰恰是用来对付网的。只要把序列f_n改成网f_i,那么推广之后的Dini定理依然成立，具体证明如下。

    证明：取定任意ε>0，令G_i={x;f_i(x)<ε}，i∈I,则{G_i}i∈I构成X的一个开覆盖。由X的紧性，存在它的有限子覆盖G_i1,…,G_in。再由网的性质，存在i∈I，使得i≥i1,…,in,于是G_i包含G_i1,…,G_in，从而包含它们的并集X，即有G_i=X，因此网f_i一致收敛于零。

    看原来的引理6.2，{f-f_i}下半连续递减收敛到零，似乎并不符合这里的条件。好在推论中把f加强到了连续函数，使得各f-f_i都是（上半）连续的，这样我们可以使用Dini定理得到推论，也说明了条件1的加强是有道理的。然而，关于条件2的序列假设则是可以省略，作者似乎只考虑了经典的Dini定理，并没有注意相应网的推广。

    最后我们得到改良之后的推论：

    推论：设K是实l.c.s.E的紧凸子集）若f是K上实值连续仿射函数，则存在A(K;E)（E上所有连续仿射函数在K上的限制函数集）内的增网{f_i}i∈I，使得f(x)=limf_i(x)对x∈E一致成立.