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21ic_highgear傅立叶变换

(2017-02-23 09:26:47)
标签:

21ic_highgear

傅立叶变换

分类: 算法、协议、信号处理

目录:

一、21ic_highgear复立叶变换

1) 复数的基础知识

2)傅里叶变换的基础知识

3)离散傅里叶变换(DFT)

4)递推离散傅里叶 (Recursive DFT)

5)问题 A 的解答

6)问题 B 的解答

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

一、21ic_highgear复立叶变换

下面两道题关于使用傅里叶变换的, 这应该是很常见的嵌入式问题:
A)  系统用 adc (小于 16-bit) 采样 50Hz 交流电流电压, 采样频率800hz, 试求出电流电压幅值以及功率和功率因数。
B)  上面的50hz 电压中, 混入了另一个 55hz 的电压求出这两个电压的幅值。
这两道题使用 16-bit, 32-bit 的整数运算,不使用浮点运算,可以在 mcu 上实现。
下面一道题,  因为我听说宇宙飞船有一个变速不变调的专利(我现在怀疑此传说的真实性),所以切磋一下:
C)  完成一个 wav 声音文件的变速不变调的程序。

1) 复数的基础知识
在讲解 fourier transform 前,必须知道一点基本的复数知识。

在复平面上的一个点 P (x, y) 用复数表示为:  
      P = x + i y
用极坐标表示为:
       P = r * e^(i a)
r = sqrt(x*x + y*y) 是点 (x, y) 到原点的距离, a = arctan2(x, y) 是角度, e 是自然常数。这里引出一个非常重要的表达式: 

e^(i a) = cos(a) + i sin(a)


此式利用复数完成角度变换和三角函数变换的利器。例如,把点 P 旋转 b 角度,那么新点(x1, y1) 的角度为 a+b, 距离仍为 r
      P1 = x1 + i y1
         = r * e^(i (a+b)) 
         = r*e^(i a) * e^(i b) 
         = (x + i y) * (cos(b)   i sin(b))
         = (x * cos(b) - y * sin(b)) + i ( y * cos(b) + x * sin(b))
----------------------------------------------------------
2)傅里叶变换的基础知识

傅里叶变换是一个积分变换, 可直接访问下链接, 获取更详尽的解释:

http://blog.sina.com.cn/s/blog_453226290102w5xm.html

----------------------------------------------------------
3)离散傅里叶变换(DFT)
http://blog.sina.com.cn/s/blog_453226290102xllf.html

离散傅里叶变换的公式:
       X(k)  = ∑ x(n) * e^(i -2*PI* n/N * k) / N
这里 X(k) 是第 k 次谐波的复数;N 为周期采样点数;x(n)为输入,n从0 到N-1

用伪代码更直观地说明:

typedef short int16;

typedef int int32;

 

typedef struct SComplex

{

 int16 Real; //实部

 int16 Image; //虚部

} Complex;


void CalculateHarmonic(Complex* X, int harmonic) //计算谐波,harmonicx次谐波,x=1、2、3……
{
      for (int i=0; i//N=16

 {
            X->Real  = x(i) * cos( 2*PI* i/N * harmonic) / N; //x(i)为输入,i从0到i-1
            X->Image = x(i) * sin(-2*PI* i/N * harmonic) / N; //N=16
      }
}
可以看到,离散傅里叶变换基本运算其实很简单, 没有那么复杂。只要有了 N 个输入,比如说通过AD 采样了 N 个数据后,可以轻易的计算出各个谐波,虽然计算量大了些。下面要做的就是减少计算量,这可以用两种方法, 一种当然就是熟知的 FFT, 还有一种就是递推。
----------------------------------------------------------
4)递推离散傅里叶 (Recursive DFT)
傅里叶变换是一个积分变换,积分当然可以使用迭代递推来减少运算,尤其是周期性的函数。只要把最后一个数据仍出去,保持其他 N-1 个数据不变,加入一个新的数据就可以了。为了理解这一点,先考虑一下移动平均滤波算法:
        Y(k-1) = (x(k-1) + x(k-2) + … + x(k-N)) / N
上面的这个公式可以写成迭代也就是递推的形式:
        Y(k) = Y(k-1) + (x(k) – x(k-N)) /N
同理,由于sin, cosin函数的周期性,dft 可以由多项式乘法和的形式变换成迭代递推的形式:
        Y(k) = Y(k-1) + x(k) * e^(i -2*PI* k /N * harmonic) / N   
                     - x(k - N) * e^(i -2*PI* (k–N) /N * harmonic) / N
            = Y(k-1) + (x(k) - x(k- N)) * e^(i -2*PI* k /N * harmonic) / N
C 代码:
       x(i) = GetFromADC();//获取AD的值
       X->Real  +=  (x(i) – x(i-N)) * cos( 2*PI* i/N * harmonic) / N;
       X->Image +=  (x(i) – x(i-N)) * sin(-2*PI* i/N * harmonic) / N; 

由于 cos, sin 是周期函数,所以 cos(2*PI* (i * harmonic) / N) 与cos(2*PI* (i * harmonic % N) / N) 是一样的,(i * harmonic % N) 的取值范围:0 to N-1

总结一下:
傅里叶变换可以很深奥, 也可以很浅显。对于离散的傅里叶变换的公式, 只要认真的看看很容易看明白, 更何况还有代码说明。通过理解 dft 如何计算出某一个谐波,就可以进一步计算出所有谐波,再想象一下,某一个算法,可以快速的计算出所有的谐波,这样,就可以很容易的理解 fft

---------------------------------------------------------- 

5)问题 A 的解答
在上面的代码 CalculateHarmonic(Complex* X, int harmonic) 中可以看出dft 的各次谐波计算是独立的, 不依赖其它次谐波。而且,问题 A 不需要计算2次(100hz),3次(150hz)等等谐波,这是 dft 的优点之一。首先,定义两个复数的结构:

typedef short int16;

typedef int int32;

 

typedef struct SComplex

{

 int16 R; //实部

 int16 I; //虚部

} Complex;

typedef struct SComplex32

{

 int32 R; //实部

 int32 I; //虚部

} Complex32;

 

接着, 定义两个常数以及电压电流的结构:

#define N 16       //每周期采样点数

#define LOG2_N 4   // log2(N)

 

struct UI

{

Complex  U;       //电压的结果

Complex  I;       //电流的结果

int16  Voltage[N];//先前的 N 个电压

int16  Current[N];//先前的 N 个电流

 

Complex32 UAcc;   //电压的累加器

Complex32 IAcc;   //电流的累加器

 

int   Index;     //迭代索引计数器, 8-BIT MCU 可以为 char, 如果 N < 256

Complex  W[N];    //N 点的 cos, sin 系数

}ui;

 

初始化,cos, sin 系数数组应该事先计算好:

void UI_Init()

{

  for (int i=0; i

{

  ui.W[i].R = (int16) (::cos( 2*3.1415927*i/N) * (1<<14) + 0.5); //应离线计算!!!

  ui.W[i].I = (int16) (::sin(-2*3.1415927*i/N) * (1<<14) + 0.5);

  ui.Voltage[i] = 0;

  ui.Current[i] = 0;

 }

 

 ui.UAcc.R = 0; ui.UAcc.I = 0;

 ui.IAcc.R = 0; ui.IAcc.I = 0;

 ui.Index = 0;

}

 

下面的代码不断递推, 可以求出电压和电流的复数:

void UI_Calculate(int16 voltage, int16 current)

{

 int16 d;

 d = voltage - ui.Voltage[ui.Index];

 ui.Voltage[ui.Index] = voltage;

 ui.UAcc.R += (d * ui.W[ui.Index].R) >> (13 + LOG2_N - 16);

 ui.UAcc.I += (d * ui.W[ui.Index].I) >> (13 + LOG2_N - 16);

 ui.U.R = (int16) (ui.UAcc.R >> 16);

 ui.U.I = (int16) (ui.UAcc.I >> 16);

 d = current - ui.Current[ui.Index];

 ui.Current[ui.Index] = current;

 ui.IAcc.R += (d * ui.W[ui.Index].R) >> (13 + LOG2_N - 16);

 ui.IAcc.I += (d * ui.W[ui.Index].I) >> (13 + LOG2_N - 16);

 ui.I.R = (int16) (ui.IAcc.R >> 16);

 ui.I.I = (int16) (ui.IAcc.I >> 16);

 

 ui.Index = (ui.Index + 1) & (N-1);

}

上面的计算dft计算使用的是 16-bit, 32-bit 的定点运算,这里需要把电压和电流单位化。比如系统最大电压幅值为 Vmax = 400V,最大电流幅值 Imax = 20A, 在数字系统中统一归一化:  Q15 = 2^15 = 32768. 即 Vmax,Imax在数字系统对应Q15 = 32768. 因此,演示主程序中的:
     8000 ---〉8000/Q15 * Vmax   97.66V
     4000 ---〉4000/Q15 * Imax   2.441A
至于功率,很简单, 用电压乘以电流的轭(用 j 来代替复数i, 以免混淆):
     P + jQ = U*I’ = (ui.U.R + j ui.U.I) * (ui.I.R – j ui.I.I)
P是有功功率, Q是无功功率; 
功率因数为:cos(theta) = P / sqrt(P*P +Q*Q)

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
计算有功功率、无功功率两种方法:
1) dft 法,通过富丽叶变换求出电流电压矢量,可以计算出有功功率,无功功率,电流电压的方向性就不是什么问题了。
2)U*I. 一个周期, 即楼主的64 点, 电压乘以电流就是有功功率;而电压乘以电流移相 PI/2, 即电流移动 16 点后,可以得到无功功率。

定时采样V、I得到瞬间功率*时间间隔就是单位时间电能,进行标量累积就是有功电能。把V进行相移90度,得到的电压序列,同理跟电流相乖,标量累积,就得到无功电能。

///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

visual c++下的演示主程序 :

#include "stdafx.h"

#include "Math.h"

#include "stdio.h"

#include "UI.h"

#define Magnitude(c) ((int) sqrtf(c.R*c.R + c.I*c.I))

#define PI 3.14159265f

 

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

{

 int16 voltage, current;

 Complex PQ;

 

 UI_Init();

 for (int i=0; i<1000; i++)

{

 voltage = (int16) (::sin(2*PI*i/N)*8000);//模拟采样电压

 current = (int16) (::sin(2*PI*i/N + PI/3)* 4000);//模拟采样电流

 UI_Calculate(voltage, current);

}

 

 PQ.R = (ui.U.R * ui.I.R + ui.U.I * ui.I.I) >> 15;

 PQ.I = (ui.U.I * ui.I.R - ui.U.R * ui.I.I) >> 15;

 printf("Voltage: %d\n",  Magnitude(ui.U));

 printf("Cuurent: %d\n",  Magnitude(ui.I));

 printf("Power Factor: %d\n", PQ.R * 1000 / Magnitude(PQ));

 

 ::getchar();

 return 0;

}

结果

Voltage: 8000
Cuurent: 3999
Power Factor: 500

----------------------------------------------------------

6)问题 的解答
现在大家已经知道了, DFT 可以单独的计算各个谐波。这道题,同样可以用 DFT 来做, 当然也可以用 FFT 来做。 50Hz与 55hz 相差 5Hz, 所以必须采用 5Hz 的分辨率。采样频率为800Hz, 周期T800 = 1.25ms; 
5Hz周期T5 = 200 ms. 因此,5hz 数据窗口的长度为 N = T5 / T800 = 160,这样50Hz, 55Hz就分别是10,11次谐波。

定义常数:

#define N 160

#define LOG2_N 8

计算 cos, sin系数。注意 (1<<(14 + LOG2_N)) / N 的作用

 

for (int i=0; i

{

    ui.W[i].R = (int16) (::cos( 2*3.1415927*i/N) * (1<<(14 + LOG2_N)) / N + 0.5);

    ui.W[i].I = (int16) (::sin(-2*3.1415927*i/N) * (1<<(14 + LOG2_N)) / N + 0.5);

    ui.Voltage[i] = 0;

}

计算:

void UI_Calculate(int16 voltage)

{

    int16 d;

    int i;

    d = voltage - ui.Voltage[ui.Index];

    ui.Voltage[ui.Index] = voltage;

    i = (ui.Index * 10) % N;

    ui.U10_Acc.R += (d * ui.W[i].R) >> (13 + LOG2_N - 16);

    ui.U10_Acc.I += (d * ui.W[i].I) >> (13 + LOG2_N - 16);

    ui.U10.R = (int16) (ui.U10_Acc.R >> 16);

    ui.U10.I = (int16) (ui.U10_Acc.I >> 16);

 

    i = (ui.Index * 11) % N;

    ui.U11_Acc.R += (d * ui.W[i].R) >> (13 + LOG2_N - 16);

    ui.U11_Acc.I += (d * ui.W[i].I) >> (13 + LOG2_N - 16);

    ui.U11.R = (int16) (ui.U11_Acc.R >> 16);

    ui.U11.I = (int16) (ui.U11_Acc.I >> 16);

 

    ui.Index = (ui.Index + 1) % N;

}

注意  (13 + LOG2_N - 16) 的作用。

 

演示主程序:

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])

{

    UI_Init();

    float Hz50 = 2 * PI * 50 / 800;

    float Hz55 = 2 * PI * 55 / 800;

    for (int i=0; i<1000; i++) {

        UI_Calculate((int16) (::sin(Hz50*i)*8000 + ::sin(Hz55*i)* 4000));

    }

    printf("50Hz: %d\n",  Magnitude(ui.U10));

    printf("55Hz: %d\n",  Magnitude(ui.U11));

    ::getchar();

    return 0;

}     

结果:
50Hz: 8000
55Hz: 4000

 

上面的例子有一个问题就是 N=160,这对于小ram容量的 mcu 来说, 不太合适。我们可以做一些改动。一是改变采样频率, 二是保持采样频率不变,跳过几个点,变相的改变采样频率。这里我们可以每采样5次,计算一次, 这样 N =160/5=32。

#define N 32
#define LOG2_N 5

for (int i=0; i<1000; i++)

{
    if ((i % 5) == 0) 
       UI_Calculate((int16) (::sin(Hz50*i) * 8000 + ::sin(Hz55*i) * 4000));
}
得到了一样的结果,而数据buffer 为 32, 可以计算出上到 15 次谐波。

 

介绍完 DFT, 下面轮到FFT. 我现在发现变速不变调不适合作为 FFT 的例子, 因为变速不变调涉及了很多其他的概念, 验证程序用 matlab 做的, 虽然不长, 但是用了 matlab 里 FFT, IFFT 的命令, 所以没有典型性。而DFT/FFT与逆变换 IDFT/IFFT 的定点 c/c++ 程序都是我自己做的, 可以更详细的讲解。 
FFT 容我这两天设想一个经典的例子, 另外开一个帖子讲解。

 

总结:
傅里叶变换的实质是把一个信号通过正交分解(e^(jωt) = cos(ωt) + j sin(ωt)), 分解成无数的正弦信号,而这些无数的正弦信号还可以重新被合成为原来的信号。就像白光通过三棱镜分解成光谱,再通过三棱镜可以被还原成白光一样,  傅里叶变换就是那个三棱镜,或者说三棱镜就是一个傅里叶变换。
                             e^(jωt) = cos(ωt) + j sin(ωt)
可以看做钟表的指针以一个角速度 ω 旋转时,指针在纵横两个方向上的投影,在横轴上的投影就是 sin(ωt) . 假设两个不同时间的钟表叠放在一起,你坐在其中的一个秒指针上,你会发现另一块表的秒指针是静止的,并且在你的指针上的投影是固定的。现在设想一下很多块表的秒指针以不同的速率旋转,而你所乘坐的秒指针可以控制旋转速率,那么你会发现,总可以使某一个秒指针看上去是静止的,即在你的指针上的投影是常数,与速度无关。

傅里叶变换出来的是什么? 以离散的傅里叶变换DFT/FFT来说明,对N点的数据做傅里叶变换,得到了 N/2 个复数, 这每一个复数实际上代表了一个正弦波, 假设采样频率为 F, 那么基本频率为 ω0 = 2*PI*F/N

这 N/2 个复数:
      Y[0] = x0 + j y0 :   ω =     0, 即 DC 
      Y[1] = x1 + j y1 = r1* e^(j a1)   ω   ω0, 代表正弦波 r1* sin(   ω0 * t  + a1)
      Y[2] = x2 + j y2 = r2* e^(j a2)   ω = 2*ω0, 代表正弦波 r2* sin(2* ω0 * t  + a2)
    ....
      Y[k] = xk + j yk = rk* e^(j ak)   ω = k*ω0, 代表正弦波 rk* sin(k* ω0 * t  + ak)
    ...
      Y[N/2 - 1] =

所以, 这些复数的意义在于正弦波的代表, 不是一般意义上的复数。把上面的正弦波叠加在一起, 又可以得到原来的波形。

首先, 我贴出的DFT程序都是我自己写的,而且有汇编的版本。 大家已经看到了, c 版本完全使用了16-bit 整数乘法, 32-bit 加法以及少量的移位操作, 除法(主要是 %,用于非 2的次方的 N) 可以完全避开。 可以设定在每次定时中断里采样后计算,由于递推,计算量很低(2个16bit乘法, 2个32bit 加法)。 唯一的问题是, 必须使用定点 scale 转换以避免浮点运算,这不如直接使用浮点直观,对没有处理经验的程序员可能是一个挑战。虽然演示程序为了通用起见用了 PC, 但是dft 算法程序用在 avr, 51等 8-bit mcu 是完完全全没有问题的。不要再说出单片机不能实现的胡话出来。 

FFT程序我也有汇编的版本,  C/C++ 版本也是采用了16-bit 整数乘法, 32-bit 加法以及少量的移位操作, 效率很高, 不过在  8-bit  mcu 上可能用不上, 因为, 数据窗口点数少了, 用 dft 更好,  数据窗口点数多了, 8-bit mcu 上太慢,不实用。因此我就不介绍了。

最后, 我贴出我用 matlab 做的变速不变调的算法验证程序,作为结束。
简单的讲一讲原理:
下面的程序使用了短时立叶变换(short time fourier transform),  窗口函数为 hamming。 
1)短时立叶变换, 这里的片断 segment = N/4, 数据被分割为 0 到  N-1,  N/4 to N+N/4-1, N/2 to N+N/2-1,依次类推。 
2)做 fft, 计算出幅度和相位。
3)计算新的幅度和相位。幅度通过插植,相位得把  wt 计入: da(2: (1 + NX/2)) = (2*pi*segment) ./ (NX ./ (1: (NX/2)));
4)用新的幅度和相位产生新的复数,加窗并作 ifft 生成变速后的音频数据。

 

SPEED = 2;

 

[in_rl, fs] = wavread('C:\windows\Media\Windows XP Startup.wav');

in = in_rl(:, 1)';

sizeOfData = length(in);

 

N = 2048;

segment = N/4;

window = hamming(N)';

X = zeros((1+ N/2), 1 + fix((sizeOfData - N)/segment));

c = 1;

for i = 0: segment: (sizeOfData - N)

      fftx = fft(window .* in((i+1): (i+N)));

      X(:, c) = fftx(1: (1+N/2))';

     c = c + 1;

end;

 

[Xrows, Xcols] = size(X);

NX = 2 * (Xrows - 1);

Y = zeros(Xrows, round((Xcols - 1) / SPEED));

 

da = zeros(1, NX/2+1);

da(2: (1 + NX/2)) = (2*pi*segment) ./ (NX ./ (1: (NX/2)));

phase = angle(X(:, 1));

c = 1;

for i = 0: SPEED: (Xcols-2)

       X1 = X(:, 1 + floor(i));

      X2 = X(:, 2 + floor(i));

      df = i - floor(i);

      magnitude = (1-df) * abs(X1) + df * (abs(X2));

      dangle = angle(X2) - angle(X1);

      dangle = dangle - da' - 2 * pi * round(dangle/(2*pi));

      Y(:, c) = magnitude .* exp(j * phase);

      phase = phase + da' + dangle;

      c = c + 1;

end

 

[Yrows, Ycols] = size(Y);

out = zeros(1, N + (Ycols - 1) * segment );

c = 1;

for i = 0: segment: (segment * (Ycols-1))

       Yc = Y(:, c)';

       Ynew = [Yc, conj(Yc((N/2): -1: 2))];

       out((i+1): (i+N)) = out((i+1)i+N)) + real(ifft(Ynew)) .* window;

      c = c + 1;

end;

 

wavplay(out, fs);

 

纯技术的帖子里, 本来不想引入非技术的东西。 

不过宇宙粉丝飞船作为 av 斑竹, 说出 “仅知道取样电阻上的电压,而不知道取样电阻的阻值,如何求功率???神仙也求不出来!“ ,还算可以谅解;但是在看了我公布的程序(我认为已经做的够简单,够清晰,本来也是为朋友的学生准备的),竟然认为 “离单片机实现还相差十万八千里“,呵呵,实在对不起我的程序,对不起党,对不起人民,对不起21ic.

已经讲完了, fft 没有太多的东西好讲。这样吧, 我放出定点c++ 的 fft 以及逆变换的程序,供大家参考

class CComplex

{

public:

short R;

short I;

CComplex() {}

CComplex(short r, short i)  { R = r; I = i; }

void Set(short r, short i) { R = r; I = i; }

CComplex(CComplex& complex) { R = complex.R; I = complex.I; }

inline void operator=(CComplex& complex)  { R = complex.R; I = complex.I; }

 

void operator+=(CComplex& complex)

{

  R += complex.R;

  I += complex.I;

}

void operator-=(CComplex& complex)

{

  R -= complex.R;

  I -= complex.I;

}

inline void Add(CComplex& c1, CComplex& c2)

{

  R = c1.R + c2.R;

  I = c1.I + c2.I;

}

inline void Sub(CComplex& c1, CComplex& c2)

{

  R = c1.R - c2.R;

  I = c1.I - c2.I;

}

inline void Add(CComplex& c1, CComplex& c2, int shift)

{

  R = (c1.R + c2.R) >> shift;

  I = (c1.I + c2.I) >> shift;

}

inline void Sub(CComplex& c1, CComplex& c2, int shift)

{

  R = (c1.R - c2.R) >> shift;

  I = (c1.I - c2.I) >> shift;

}

inline void Mul(CComplex& c1, CComplex& c2, int shift)

{

  R = (c1.R * c2.R + c1.I * c2.I) >> shift;

  I = (c1.I * c2.R - c1.R * c2.I) >> shift;

}

inline void MulConj(CComplex& c1, CComplex& c2, int shift)

{

  R = (c1.R * c2.R - c1.I * c2.I) >> shift;

  I = (c1.I * c2.R + c1.R * c2.I) >> shift;

}

inline void Shift(int n) { R >>= n; I >>= n; }

};

在嵌入式,构造函数中的 BitReversal, W 数组应该预先离线计算

class CFFT

{

protected:

static const int N = 32;

CComplex W[N];

int BitReversal[N];

public:

CComplex Y[N];

protected:

void ReverseBit()

{

  int rev = 0;

  int t = N/2;

  int mask;

  for (int i = 0; i < N-1; i++)

  {

    BitReversal = rev;

    mask = t;

    while (rev >= mask)

        {

    rev -= mask;

    mask >>= 1;

   }

   rev += mask;

  }

  BitReversal[N-1] = N-1;

}

 

public:

CFFT()

{

  for (int i=0; i

  {

   W.R = (short) ( ::cos(PI * 2*i / N) * 16384 + 0.5);

   W.I = (short) (-::sin(PI * 2*i / N) * 16384 + 0.5);

  }

  ReverseBit();

}


void Calculate(short* x)

{

  short t;

  int i, j, n, index1, index2, indexW, di;

  CComplex result;

  for(i=0; i

  {

   n = BitReversal;

   if(n > i)

       {

   t = x;

   x = x[n];

   x[n] = t;

        }

   }

   for (i=0; i

   {

   t = x[i+1];

   Y.Set(x + t, 0);

   Y[i+1].Set(x - t, 0);

   }

   for (di=N>>2, n=2; n<<=1, di >>= 1)

   {

   for (j=0; j<<1))

   {

    indexW = 0;

for (i=0; i

{

     index1 = i + j;

     index2 = index1 + n;

     result.Mul(Y[index2], W[indexW], 14);

     Y[index2].Sub(Y[index1], result, 1);

     Y[index1].Add(Y[index1], result, 1);

     indexW += di;

    }

     }

   }

}

 

void Inverse()

{

  int i, j, n, index1, index2, indexW, di;

  CComplex result;

  for(i=0; i小于N;i++)

  {

   n = BitReversal;

   if(n > i)

        {

    result = Y;

    Y = Y[n];

    Y[n] = result;

    }

       }

  for (i=0; i小于N;I++)

  {

   result = Y[i+1];

   Y[i+1].Sub(Y, result, 1);

   Y.Add(Y, result, 1);

  }

  for (di=N>>2, n=2; n<<=1, di >>= 1)

  {

    for (j=0;j小于N;j+=( n<<1))

{

     indexW = 0;

     for (i=0; i小于N;i++)

{

     index1 = i + j;

     index2 = index1 + n;

     result.MulConj(Y[index2], W[indexW], 14);

     Y[index2].Sub(Y[index1], result);

     Y[index1].Add(Y[index1], result);

     indexW += di;

              }

           }

       }

    }

}

http://bbs.21ic.com/icview-192653-1-1.html

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