填数的常用方法

作者：陈德前

在近年来的中考试题中，常出现一类填数问题，下面举例说明这类问题的一些思考方法.
　　
　　一、寻找规律填数
　　例1 毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法如图1所示，则“？”处应填__________．
　　分析：观察图1，可以发现：从行看，第二行每个数是第一行对应数字的3倍，第三行每个数是第一行对应数字的7倍，因此“？”处应填6；从列看，第二列每个数是第一列对应数字的2倍，第三列每个数是第一列对应数字的5倍，因此“？”处应填6.
　　
　　二、借助方程填数
　　例2 在等式3×□-2×□=15的两个方格内分别填入一个数，使这两个数互为相反数且等式成立.则第一个方格内的数是 .
　　分析：本题是数的运算，若引进未知数（字母），借助于方程，则问题就可以迎刃而解.设这个数为x，则它的相反数是-x，代入得：3x-2（-x）＝15，即5x＝15，解得x＝3.因此第一个方格内的数是3.
　　
　　三、利用推理填数
　　例3 在五环图案内，分别填写五个数ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，如图2，其中ａ，ｂ，ｃ是三个连续偶数（ａ＜ｂ＜ｃ）；ｄ，ｅ是两个连续奇数（ｄ＜ｅ），且满足ａ+ｂ+ｃ＝ｄ+ｅ.如图3所示.请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入图4中.
　　分析：因为ａ，ｂ，ｃ是三个连续偶数，且ａ＜ｂ＜ｃ，所以可得ｂ＝ａ+2，ｃ＝ａ+4；ｄ，ｅ是两个连续奇数，且ｄ＜ｅ，所以可得ｅ＝ｄ+2；再由ａ+ｂ+ｃ＝ｄ+ｅ，可得ａ＋ａ＋2＋ａ＋４＝ｄ＋ｄ＋2，即3ａ＝2ｄ-4.ａ为偶数，令ａ＝4，则有d＝8，不符合d为奇数的条件 . 令ａ＝6，则ｂ＝8，ｃ＝10，ｄ＝11，ｅ＝13. 令ａ＝10，则有ｂ＝12，ｃ＝18，ｄ＝17，ｅ＝19.所以答案如图5或图6所示.
　　
　　四、借助公式计算
　　例4 图7是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层只有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图7倒置后与原图7拼成图8的形状，这样我们可以算出图7中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n= ．
　　
　　如果图7中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图9的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是____________；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图10的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，…，求图10中所有圆圈中各数的绝
　　对值之和．
　　分析：（1）将11代入公式可求得结果为66，即前11层共用去66个数，所以第12层（即最底层）最左边这个圆圈中的数是67．
　　（2）图10中所有圆圈中共有1+2+3+…+12= =78个数，其中23个负数，1个0，54个正数，图10中所有圆圈中各数的绝对值之和为｜-23｜+｜-22｜+…+｜-1｜+0+1+2+…+54
　　=（1+2+3+…+23）+（1+2+3+…+54）=276+1485=1761．
　　填数的方法还很多，希望同学们自己去总结归纳.