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[转载]“最速运动路线”终于有了统一的方程

(2017-04-06 17:02:48)
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分类: 知书识理,自圆其说

“最速运动路线”是一个已经研究了几百年的经典问题。说的是:在空间中有AB两个定点,求质点从一点运动到另一点沿什么样的路线用时最短。无疑,“费马原理”和“最速降线”都是这个问题的研究结果。前者揭示了光在通过界面时的折射规律;而后者则解决了物体在均匀重力场中下降的路径问题,亦被称为“最速降线”问题。但是长期以来,这两个方面的结果迟迟没有得到统一。直到最近经过笔者的深入研究,才终于成功解决了这一难题,将两者统一到一个方程式中。

一、费马原理的广义公式

2006年,笔者先后在《中国当代思想宝库》一书和自己的博客中发表了《费马原理的最新表达形式及其应用》一文。我在文章中指出:

费马原理还有另外一种表达形式,其微分式是

d (n r sinα) = 0                       1                      

式中α是光线与介质中微元面法线的夹角,在该微元面上折射率处处相等;r是在由光线与法线决定的平面内微元面的曲率半径。虽然nrsinα都在随地点变化,但其乘积却始终保持不变。该公式适用于光在所有不均匀介质中的折射情况。在有些情况下用起来特别方便。

这是由笔者发现的表达费马原理的广义公式。关于它在大气折射和“海市蜃楼”现象中的应用,我在文章中已经作了交代。

二、最速运动路线的普适方程

由于介质的折射率与光在其中的运动速度成反比,所以(1)式也可以写成

d ( r sinα/v) = 0                       2

式中α是质点运动方向与等速微元面法线的夹角;r是在由运动方向与法线决定的平面内微元面的曲率半径。质点在运动中,虽然vrsinα都在随着地点变化,但其乘积却始终保持不变。

笔者通过进一步的研究发现:该公式竟然有更为广泛的适用范围。它不仅反映了光在所有不均匀介质中的连续传播规律,还确定了质点在所有保守力场(引力场、电场、磁场)中的最速运动轨道,且在某些情况下用起来也特别方便。在均匀重力场中的“最速降线”问题只是其中的一个特例而已。

这就是由笔者独立发现的最速运动所共同遵循的普适方程。该方程一举解决了在不均匀力场中质点的最速降线问题,这是前所未有的成果。

三、应用实例A

下面我们就以地球的重力场为例,具体讨论对该方程的应用。此时各等速面都是同心球面,各点的法线都是它们的半径。

设地球的半径是6371 km .我们想从A地开凿一条地下隧道通到远处的B地,让货物在重力作用下且用最短的时间自己运动过去。但由于地质条件的限制,所以隧道的最低点不能超过1000 km的深度,求A、B间的最远距离及轨道方程。

我们知道,上面(2)式也可以写成 

  r sinα/v = rsinα。/v                     3

当物体在A点时   r= 6371 km   v= 0

所以必然有 α。= 0   就是说,物体在一开始必定是自由下落的。

而在隧道最低点,半径最小 R = 6371- 1000 = 5371 km

                速度最大 V = sqrt[g (r- RR/r)] = 4.25 km/s

                夹角最大 α= 90°

在隧道的其它点上,设极半径为ρ,极角为φ. A φ= 0

则因为    sinα= ρdφ/sqrt[(dρ)^2 + (ρdφ)^2 ]

              = 1 /sqrt[(dρ/ρdφ)^2 + 1 ]

所以      dφ = dρ/(ρsqrt(1/sinα^2 – 1))

再将      v = sqrt[g (r- ρρ/r)]  V = sqrt[g (r- RR/r)]

sinα= Rv/(ρV) = (R/ρ) sqrt[(rr-ρρ)/ (rr- RR )] 代入φ式并积分

   φ = [1/(ρsqrt(((ρ/R)^3)(rr- RR)/ (rr-ρρ) – 1))]dρ

             = arctg[(R/r)sqrt((rr-ρρ)/ (ρρ- RR ))]

- (R/r) arctg[sqrt((rr-ρρ)/ (ρρ- RR ))]

这就是隧道的极角方程。严格的计算证明:它是标准的滚轮内摆线

在A点,因为 ρ= r 所以  φ= 0

而在隧道最低点,因为 ρ= R 

所以  φ= 0.5π(1- R/r) = 0.246554 rad = 14.1265°

这也是从最低点到达B点的极角φ

由此可得从A到B的最远距离是

 s = 2φr= 2×0.246554×6371 = 3141.59 km

以上计算考虑了在地面以下重力场减小的问题。此时重力场强是与半径成正比。

与上同理,我们还可以证明:在地面以上,如果变成斥力,且斥力场强与半径成正比,那么AB间的最速运动路线将是标准的滚轮外摆线!恕此处不再赘述。

四、应用实例B

当假设地球的质量都集中于地心时,重力场强将与半径的平方成反比。但此时的隧洞已经不是隧洞,而是变成了两头高的“天桥”。

在A点,物体一开始的运动仍然是自由下落的。

而在天桥的最低点,速度仍然最大。

                V = sqrt[2g r(r/R - 1)] = 4.822 km/s

在天桥的其它点上,则因为

     v = sqrt[2g r(r/ρ- 1)]  V = sqrt[2g r(r/R - 1)]

sinα= Rv/(ρV) = sqrt[((R/ρ)^3)(r- ρ)/ (r- R )]

将之代入φ式得

   φ = [1/(ρsqrt(((ρ/R)^3)(r- R)/ (r-ρ) – 1))]dρ

             = [1/(ρsqrt(((ρ/5371)^3)(6371- 5371)/ (6371-ρ) – 1))]dρ

此时我们无法得到积分的原函数式,但是可以利用数值进行积分运算。

因为积分区间是   R r

所以可以算得从最低点到达B点的极角是   φ。= 0.2245838 rad = 12.8677039°

从A到B的最远弧长是  s = 2φr= 2×0.2245838×6371 = 2861.64678 km

比上边滚轮内摆线所对应的地面距离要小。

此时从零速圆周上开始的最速降线已经不是滚轮内摆线,但是仍然类似。且R/r。越接近1 ,两者就越类似,甚至趋同;而R/r。越接近零,两者则越悬殊。

我们知道:在直线上,所有的滚轮摆线都是相似的;同理,在零速圆周上,所有弧角相同的最速降线也都是相似的。(注意:相似不是类似!相似形的对应边比例都相等,而类似形的对应边比例则定有不等。)

此时R/r。越小,最速降线的张角2φ。就越大。但是当R/r。→ 0 时,2φ。却不能趋于π,而是趋于一个极限值 2π/3 。所以只有当始、终点的半径夹角小于120°时,才能有连接它们的最速曲线;而当始、终点的半径夹角大于该张角时,两点之间的最速降线则变成了它们所在的两条半径。

 

总之,最速运动路线的形成必须是在确定的速度场中,而确定的速度场的形成又必须是在保守的力场中。在非保守力(如摩擦力)场中是绝对不行的。保守场的方向和强度分布不同,最速运动路线的类型也就不同。它可能是滚摆线(也叫旋轮线),但也完全可能是别种线。所以滚摆线未必总是最速线,它必须在特定的情况下才能成为最速线。

最速运动路线普适方程的发现,在物理学和几何学上都有着重大的意义,它填补了人类科研史上的一项空白。物体是没有思想的,更不可能想那么长远,使自己能沿着用时最少的路线运动。不仅保证自己在每个微分段用时最少,还能保证在整体上也用时最少。但是如果给它一个合适的机制,那么就能使它走出用时最省的路线,这不难理解。对于这一问题的研究,人们曾走了许多弯路,耗费了无数人的精力;可现在我们所得到的运动制约竟是如此简单,真是出人预料,令人叹奇!

 

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