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我的主要研究成果综述(上)

(2013-01-18 14:10:57)
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物理学

数学

拼音文字

诗词文学

社会问题

山东章丘一职专 马国梁

人生在世,总要干点对别人、对社会有益的事情。在匆忙之中,不知不觉竟已年过半百,在工作岗位上也已学习研究了三十多年。幸慰的是经过长期坚持不懈的努力,总算取得几项值得自豪的研究成果。但愿它们能够传承下去,传播开来,以启发后人、造福社会。尽管我已经将这些成果写成文章,但怎奈篇幅太多,眼花缭乱。为方便读者,我特意撰写此文,拟将主要成果作些简介,并提供相关文章的索引。敬请诸位赐阅。

 

一、现代物理学

 

(一)我发现了以太真实存在的证据

我在《我现在仍然坚持:以太不可能被任何物质实体拖拽移动》一文中指出:以太所给予物体的惯性力是一种“保守力”,只是这种力只有当物体做变速运动时才能够表现出来。当物体克服惯性力做功时,它便将转化成的动能储存起来;而当惯性力做功时,动能便被释放出来转化成其它能。但如果是在绝对真空中,那么物体的运动便没了这种高速和低速的差别,因为只有一个物体是无法构成储存能量的物质系统的。所以以太就像能够储存势能的引力场一样,是确确实实存在着的一种无形物质。

我在《我们究竟应该建立一个什么样的时空理论?》一文中指出:以太“是激发产生引力场、电磁场以及电磁波等的基础,是实粒子产生的土壤和湮灭后的归宿,是容纳所有实物质系统在里面悬浮、运动的海洋;这个场作为公共背景物质,还使物体间的隔离及相对运动有了实际的物理意义,它使物体有了惯性运动和惯性力产生,它也是使物体的时空特性能够发生改变的外部原因,这一切如离开了空间的物质性则都是不可思议的。”

(二)我提出了以太不能被拖拽的新证据

我在《我们究竟应该建立一个什么样的时空理论?》一文中指出:用“地球拽引说”来解释(迈克尔逊莫雷实验的零结果)是不能令人信服的,因为它无法说明当地球的质量减小到多少时“拽引作用”即不再产生上述结果。拽引论者们给不出拖拽程度和引力场强的定量关系。

我在《以太根本不可能被地球拖拽!》一文中指出:对以太来说,地球就象一个透风撒气的网。组成地球的每一个原子,其内部的点阵密度都非常非常的低。我曾将运动的地球系统比喻成一群飞行的麻雀,因此它们是不可能带动空气形成风的。原子内部的核和电子的尺度只占原子的万分之一甚至十万分之一,如果将之比喻成10厘米大麻雀,那就相当于在一立方千米的空间内只有一只麻雀甚至不到一只。它们怎么能带动空气呢?所以地球在以太的海洋中畅通无阻有什么好奇怪的呢?……以太内部是相互排斥的,故它在宇宙空间内分布均匀,且绝对静止。不论地球还是钢板,都只是质点系,里面的空隙大的很。它在运行时所受的阻力很小,不可能带着以太运动。

我在《我现在仍然坚持:以太不可能被任何物质实体拖拽移动》一文中指出:假若地球表面的以太被完全拖拽,那么傅科摆所处的空间将与地球同步运动,它的摆动方向将不会有任何旋转——可实际上并非如此。……还有人造地球卫星的轨道平面,在地面上抛出的自由物体,也将都随地球自转。……地球赤道同步卫星虽然随着地球自转,但并没有掉下来,这是因为卫星在空间中还存在着绝对圆周运动,它的重力被惯性离心力平衡了。……地球由于自转而形成的赤道部分外凸也证明了以太不能被拖拽。假若地球与其附近的空间自成一体,那么它就不可能变扁。仅根据地球的扁率,我们就能推算出它的绝对自转角速度。

(三)我提出了超光速的条件

我在《绝对-相对时空论》一书中指出:超光速“绝不是普通粒子在普通空间中所能发生的事,最起码不是电磁系统在普通空间中能发生的事。因为作用力随着速度的增加而减小是不可避免的,故超光速必须是奇异粒子或是在奇异的空间内才有可能。”

我在《浅谈超光速实验的不可能性》一文中指出:用电磁力,那就必须用带有电荷的粒子。否则,你怎么给它施力呢?中子、中微子虽好,可它们都是裸粒子,你准备怎么给它加速呢?……而用带有电荷的粒子,那么在给它加速的过程中,就难免遇到“光障”的困难。即当粒子加速到接近光速时,它的受力就要减小;而如果一旦超过光速,那么外电磁场就无法继续给它施力了。因为光速也是空间中电磁场移动和电磁力跟踪的最大速度。……我至今还是纳闷:中子在核反应中究竟是靠什么力获得了巨大速度?强力可是短程引力呀!莫非是质子在获得高速后因为丢了电子而变成的中子?

(四)我提出了物体在运动中发生“尺缩钟慢”现象的条件

我在《“尺缩钟慢”仅发生于做绝对运动的电磁物质系统》一文中指出:“尺缩钟慢”现象仅只发生于做绝对运动的靠电磁力结合起来的物质系统上;绝对运动的极限速度为光速的也仅限于电磁物质系统。其理由是:在空间中只有电磁力的传播速度为光速;在收缩因子sqrt(1-vv/cc)中,光速c 是一个基本参数。而其它类型的物质系统我们不好说。……而对电磁物质系统来说我们则比较有把握。因为在运动时由于电磁力的传播,其内部彼此间的结合受到了影响,其内部的运行状态发生了改变。例如原子钟的运行、电磁波的产生实际上都是利用的原子核外的电子振荡;石英钟、电子钟都是利用的电路震荡;决定化学反应速度、生物钟速率的分子力其实质是电磁力;而决定机械钟运行速率的弹力则也是电磁力。

(五)我重新发现了广义的伽利略变换公式,并推出了“以光速追光”的结果

我在《绝对-相对时空论》一书中指出:在动、静坐标系之间对同一点的坐标变换公式如下所列:

            x= (x - u t ) / sqrt (1 - uu / cc )

            y= y

            z= z

            t= t sqrt ( 1 - uu / cc )

在静坐标系内有一束光,速度为c ,方向与yz平面的夹角是α,则

v= (c - u sinα) / (1- u u / c c )

当α= 90° 即光的传播方向与惯性系的运动方向相同时,得

     v= cc /c + u

   u c  时,v′→ c2  

这就是当观测者“以光速追光” 时所得到的结果,得半光速。

(六)我首先将简谐振动系统引入惯性系,并由此印证了变力不变质的规律

我在《绝对-相对时空论》一书中指出:对于弹力的变换我们可根据振动系统固有频率的变化来推出。这一思路非常重要,为本人首创。类似于前面我们利用闭路光速不变原理推出的时空收缩率。可惜历史上有许多人都走上了“变质量”的道路,并通过分析碰撞现象推导出质量变换的公式,这实在是天大的错误。简谐振动是现实世界中一种极为普遍的运动形式。振动系统至少由两个物体或同一物体的两部分组成,牵涉到位移和加速两种力,是一种可以自我封闭的周期性运动。这种运动将位移、速度、加速度、质量与力统一在一起。

我在《“闭路光速不变原理、谐振频率速度特性”将是未来时空理论的两大支柱》一文中指出:如果我们把质量看成是可变的,那么谐振方程将无法实现自洽;而把质量看成是不变的、只将力看成是可变的,那就很容易实现自洽。所以这样以来,问题马上即变得简单明朗了。由固有频率随运动减小的公式

ω'= ω sqrt (1 uu/cc)

我们可以很容易的得出倔强系数的变换公式。即

k= k (1 uu/cc)

而各个方向的力的变换式则是

        Fx = Fx (1- uu /cc)(3/2)

        Fy = Fy (1- uu /cc)

        Fz = Fz (1- uu /cc)

我们还可以将之推广到在空间中做绝对曲线运动的任意切向力和法向力的变换,从而得出其速度特性。

Fτ= Fτ'(1- vv /cc)(3/2)

        Fn = Fn(1- vv /cc)

这样就轻易解决了普通物体在现实空间中光速不可逾越的问题。原来是所受的推力随着运动越来越小了。当物体接近光速时,推力趋于零。并能够推出和爱因斯坦一样的速度公式

   v = c sqrt [ 1 -1/ (1 + Fs / mcc) ^ 2 ]

我在《绝对-相对时空论》第六章中还提出了磁场力的速度特性公式。指出:由于电荷所受的磁场力必须依靠运动才能产生,且受力方向总是和运动方向垂直,故力的大小变成了在运动基础上乘以sqrt(1- vv/cc),而不是乘以(1- vv/cc)了。并由此圆满的解释了电子在回旋加速器中高速运动时周期变长的情况。

FB = Bvq sqrt(1-vv/cc)

(七)我推出了光在运动介质拽引下的速度公式,且证明了闭路光速不变

我在《绝对-相对时空论》一书中指出:在绝对静参照系中测量光在运动介质中的绝对速度,其大小等于介质的绝对运动速度再加上经介质减小后的相对运动速度(象是“搭车”行为)。即(矢量用黑体字母表示)

v = u + (c – u) / n= [ c + u (n- 1) ]/ n

 其中  n= 1 +n – 1c/ c n= 1 + (n – 1) (1 – u cosβ/c )/ (1- uu/cc ) 

当β= 0   时,为顺向光速     v1 = (c + nu )/ (n + u/c)

当β= 180°时,为逆向光速     v2 = (c - nu )/ (n - u/c)

当介质做低速运动即 u<< c 时,点光源周围光波面的形状可近似为偏心球面。光源的偏心距离为 (1-1/nn ) u ,光速的大小近似为

v = c/n + (1-1/nn ) u cosβ

介质的拽引系数为   f = 1-1/nn

我还证明了:运动的介质惯性系中,光沿任一闭合回路传播的平均速度都等于c/n .

(八)我推出了经过修正的光的多普勒效应公式

我在《绝对-相对时空论》一书中指出:在空间中,一运动观测者对任一运动的光源进行观测,当观测者的绝对运动速度为u1 ,运动方向与光传播方向的夹角为β1 ;光源的绝对运动速度为u2 ,运动方向与光传播方向的夹角为β2 

观测波速  c=c - u1 cosβ)/ [1- u1 u1 / cc ]       (u2、β2无关 )

观测波长λ′=c - u2 cosβ2 T/ sqrt [1- u1u1/ cc)(1- u2 u2 / cc ]

观测周期  T= T[ ( c - u2 cosβ2 ) / (c - u1 cosβ1 )] sqrt [ (cc - u1u1 ) / (cc - u2u2 ) ]

观测频率  υ′=υ。[ ( c - u1 cosβ1 ) / (c - u2 cosβ2 )] sqrt [ (cc - u2u2 )/ (cc - u1u1 ) ]

(九)我发现了“宇宙大爆炸”理论不成立的新证据

我在《尊重事实:我们从美国公布的最远的宇宙照片中看到了什么?》一文中指出:我们所能深入的宇宙半径至少要比132亿光年再大几倍。从图中可以看到:光斑大小如果只有星系大小的二分之一,那么宇宙半径就是两倍的132亿光年;如果只有星系大小的四分之一,那么宇宙半径就是四倍的132亿光年。它到底能够扩大到多少倍,大家可以自己看、自己算。……我们看到了“宇宙大爆炸”之前的星系。“宇宙大爆炸论”者们所推出的爆炸时刻是在137亿年前,可是我们既然看到了数倍于132亿光年远的星系,那就说明:它们在大爆炸之前就已经存在着。这无疑直接宣告了大爆炸理论的破产。

(十)我提出了关于宇宙无限的新证据

我在《追究物质、空间、时间的真正本质》一文中指出:宇宙的无限性却是不容置疑的,它的巨大不是我们人类所能想象的。虽然我们无法从观测上给予充分证明,但通过思维我们还是能够从逻辑上进行证明的。这是因为:(1)有限的宇宙模型将给我们带来不能解决的稳定性问题;(2)我们没有理由认定空间是有限的,更没有理由认为“在无限的空间内只有有限的物质”;(3)在“宇宙的边缘”也没有通过观测证明的情况下,那么现有的状态将起着决定性的作用。因为惯性定律是一条最基本的定律,所以如果没有其它因素干扰,那么我们就应该假定这样的星空还会继续延伸下去。即使有一天我们这个宇宙被证明是有限的,那么我们也应该想到在它外面还会有无数个这样的宇宙。

我在《无限的宇宙模型必然是均匀的》一文中指出:如果认为宇宙是无限的,那就不存在宇宙之外的区域,也不存在宇宙物质的边缘。宇宙内的物质分布在总体上是均匀的。每个物质系统所受到的来自遥远的四面八方的引力都是相互平衡的。这样的宇宙模型必定是稳定的。每个物质系统的运动状态只由邻近的物质系统来决定。例如月球为什么要先围绕地球运转再随地球绕日运转呢?而不是直接围绕太阳运转呢?就是因为它受距离最近的地球的引力作用最大,受距离很远的太阳的引力作用较小,故有如此的表现。至于地球运动表现的原因同样可以依此类推。

(十一)我提出了世界统一的新途径

我在《再论物质世界的统一问题》一文中指出:世界的统一性在于它的物质性;但世界的统一性未必就是我们过去一直期望的同一性。即:所有的物体组成从根本上都来源于一种原料,所有的运动分解到到最后都是机械运动。我们周围的世界是无限的、多样的,可是我们的感官和思维却是有限的,这就决定了我们所追求的统一不可能是简单的归一。笔者认为:世界的统一性从本质上说应该在于它的普遍联系性。所有的物质通过各种相互联系而结成一个整体。

它的统一可分为三个方面:首先是在空间上的统一,所有各种形态的物质都处在同一个空间内;其次是在时间上的统一,即所有的物质都在同一条时间轴上运行;再就是在相互作用上的统一,即所有的物质都是通过相互作用而连成一个包罗万象的系统的。系统内的每一部分物质都时刻受到其它部分的作用,当然,它也同时作用着其它物质。

物质间的相互作用有着特别重要的意义。因为每一部分物质都是通过这种作用来展示自己的存在和价值的。

(十二)我提出现代人类所应遵循的行为准则

我在《科学研究应当以人为本》这篇文章中指出:我们不能为所欲为。虽然人类的能力已经空前强大,且还会继续强大,能做的事越来越多,但是我们的欲望产生的更多,所以永远无法满足;并且我们的利益还具有多样性,是多层次、全方位的,它们可能相互冲突。这就迫使我们不得不进行选择或放弃。

在各个层次的主体中,我们当然应该以人为本,站在人类的角度,去评价是非善恶,制定行为准则,尽力争取人类的最大利益。这个“最大利益”具体说来就是:根据地球资源的承载能力,保持适度的人口规模和较高的生活质量;拥有足够高的能力,让人类尽可能持久的生存发展下去。我们不能坐以待毙,听任大自然摆布。

 “人类的行为准则”总的来说应该是“想法让获取的利益更多、更大以致最大”。俗云:“两力相权取其重,两害相权取其轻”,就是这个意思的两个方面。但具体如何进行操作,我们还必须制定一系列细则,体现在我们的法律道德体系中。

 

二、经典物理学

 

(一)我重新发现了月球远离地球的规律

我为此特写了《对地-月系统演化规律的再探索》一文。与宋富高老师的研究基本达成共识。

(二)我发现引起水星进动的真正原因是一项与半径成立方反比的微扰力

我在《绝对时空论》一书中指出:在对水星近日点进动现象的解释中,爱因斯坦用“弯曲的空间”是令人费解的;而用质量的增大来解释则又是错误的,因为不可能只有引力质量增大而惯性质量不变;也不能用水星所受引力的速度特性来解释,因为按此特性,当水星靠近太阳时应该是受力减小;故剩下的只有短程的电磁力了。设这个力与半径的立方成反比,且很小。因为多了这个微扰力,所以使水星原来闭合的椭圆轨道变得不再那么闭合了,长轴有了定向的进动。并通过计算后认定:水星在近日区域所受的引力的确增大了。

(三)我推出了陀螺稳定竖直运转和地面滚动圆环的临界转速公式

我在《关于陀螺问题的最终发言》一文中指出:可以消去零因子,推出陀螺稳定竖直运转所必需的角速度为

ω。= 2 sqrt (J mgh) / J

即陀螺只有在这个速度及以上,他才可能稳定竖直运转;但当它受到扰动时,那么它将失稳改为在最高处的振荡,因为过剩的进动动能无处消耗。

我在《另类陀螺——在地面滚动的圆轮》一文中指出:当轮在水平面上没有滑动、没有滚动阻力距时,要想使它稳定运行,那么必须让重力矩被平衡和小于反力矩。即必须

mgr cosα J。ω。ω + Jωω

对圆环来说,因为自传惯量 J= mrr  ,进动惯量  J = mrr0.5 + tgαtgα)

所以它必须 0.5 gr vv0.75/ sinα + 0.25 / sinα^ 3

vv > 0.5 gr 时,环形轮将做匀速直线滚动,稳定竖直;

vv = 0.5 gr 时,环形轮处于随遇状态,基本上是匀速直线滚动,可稍有倾斜或摇摆。

(四)我发现了重力摆椭圆进动的原因及规律

我在《关于傅科摆问题的研究报告》一文中指出:当重锤做大幅摆动时,水平面上的向心力大小是

F = N sinθ= mg cosθsinθ+ m (vv/l) sinθ≈ mg [r/l - 0.5 (r/l)^3] + m (vv/l) r/l

因为有了与r成高次方的负项,所以它必然要产生作用了。从此椭圆的形状就不再标准。其中最主要的变化就是:椭圆循环一周后不再闭合了,有了进动。

这个进动完全是由于随着半径的增加、向心力的增长减缓造成的。

利用数据计算的结果可以证明:长轴进动的角速度与短半轴b成正比,与最大摆角θ。的平方近似成正比。

(五)我发现了广义的费马原理,并推出球面大气折射的公式

我在《费马原理的最新表达形式及其应用》一文中指出:费马原理还有另外一种表达形式,其微分式是    d (n r sinα) = 0

式中α是光线与介质中微元面法线的夹角,在该微元面上折射率处处相等;r是在由光线与法线决定的平面内微元面的曲率半径。虽然nrsinα都在随地点变化,但其乘积却始终保持不变。该公式适用于光在所有不均匀介质中的折射情况。在有些情况下用起来特别方便。在球面平行介质中,因每个微元面的法线都在其半径方向上,此时折射率只是其半径的函数   n = n(r)                        

光线的出发点仍然是A ,在球心极坐标系中,设极角为φ

可求得得   dφ= dr / r sqrt [ (nr/ nA rA sinαA )^2 – 1 ]

这就是光线在球面平行介质中的折射方程。它适用于宇宙中所有星球表面的大气折射。例如在地球表面上,沿地平线穿过大气层发射到太空中的光线偏折角,可求得为39.7分,这与实际情况是相符的。

(六)我对两个引力温差公式进行了科学的统一

我在《“引力温差效应”应当引起科学界的重视》一文指出:在一个孤立的静止的气态系统中,温度沿半径方向降温的微分公式有两个,它们分别是

dT = -[2μ/(i+2)R]g dr         1

  dT = -(2μ/iR)g dr             2

      式中的μ是摩尔质量,i是分子运动的自由度,R是普适气体恒量,g是引力场强。

两个公式究竟谁是谁非,笔者曾与朱顶余老师展开过激烈的争论。直到后来,笔者才终于弄明白:两个公式所反映的温度变化规律,其实是分属于两种不同的平衡状态,从而实现了两者的统一。

其中由公式(1)所决定的温度分布是气态球体内有无对流的分界线。当实际温梯小于此值时,将没有对流,但热量会继续向内传导,慢慢增大梯度;而当实际温梯大于此值时,那么将通过对流向外传热,减小梯度。所以对“热胀冷缩”的流质球体来说,它的绝对静止热平衡是不存在的。当没有对流时,其内部总是进行着从外向内的热传导。而当达到一定温梯时,则不可避免的要发生对流。

液态球体内有无对流的临界线公式与气态的不同。当然决定温度分布的还是其绝热压缩规律。即单元体在漂移过程中能够通过绝热胀缩使它的密度总是与四周的保持相同,从而实现其随遇平衡。故温梯大小与液体的压缩性有关:液体越容易压缩,它所允许的温梯就越大;反之则越小。

而公式(2)则只适于静态球体。由公式(2)所决定的温度分布是系统内两个传导方向的分界线。当实际温梯大于此值时,热量将从内向外传导;而当温梯小于此值时,热量将从外向内传导。这一现象,打破了传统的热力学第二定律,它说明在引力作用下,热量是可以自动的由低温传向高温的。引力不光能聚集物质,它还能聚集热量。从而实现了恩格斯在《自然辩证法》一书中的预言:“散发到太空中的热量一定以某种方法(阐明这种方法是以后的自然科学课题)转变成了另一种运动形态,然后再从这种运动形态中重新集结和活动起来。使已死的太阳重新转化为炽热的星云。”在宇宙学理论中具有重大意义,它使“热寂说”遭到彻底的否定。

(六)我用“引力温梯定律”正确推出了恒星中心的情况

我在《应用“引力温梯定律” 正确揭示恒星内秘》一文中,对恒星内部做了如下推导:

在任意半径r处的温度梯度是

     dT/dr = -(Gm/rr)2μ/5R

式中的m 是半径r球面所包围的质量,它等于总质量减去从外到内各圈层的质量之和。即

      m = M - 4πrrρdr               r的积分区间是 rr

式中ρ是半径r处的密度,可根据绝热过程方程式算出来

      ρ=ρ。(T/T)^1.5

半径r处的压强也可以根据气态方程式算出来

      P =ρRT/μ

我们从外向内推算。对于太阳来说,已知 r= 70万千米,T= 6000开,M = 2×10^30千克

则可推得在它的中心区域各状态量分别是

温度    T = 1518万开    

密度    ρ= 8328.5 千克/^3  ,为水密度的8倍多。

压强    P = 8.546×10^14  帕 ,为80亿个大气压。

其中温度与前人的结果一致;而密度和压强则悬殊较大,这说明前人的结果是错误的,因为他们没有考虑引力对温度的影响。

更多的计算证明,对于一般的恒星来说,其中心区域各个状态量的公式分别如下所列:

T M/r    ρ∝ M/(r^3)     P MM/(r^4)

当然在具体计算时可以太阳的数据作为参考量。

(七)我还用“引力温梯定律”正确揭示了黑洞的内秘

我在《揭开罩在黑洞上的神秘面纱》一文中指出:黑洞根本不可能无限坍塌,它也是一种普通天体。因为星体坍塌是要向外释放能量的,可是由于引力的封锁,能量根本就放不出去。又如何坍塌呢?假如能量能够释放出去,那么它还叫“黑洞”吗?

黑洞是混合型的多圈层结构,它的表面温度是0开。对外没有辐射但可能有吸收。

其实所有孤立热系统的外表温度都只能是0开。因为在边界上的质点不应该有热运动,如果有热运动它就不是边界,必然会有质点超越过去。除非有容器把它挡住。

应用“引力温梯定律”我还算出了质量是二倍太阳的黑洞中心数据:

温度    T = 2.9×10^12  

密度    ρ= 2.75×10^19  千克/^3

压强    P = 6.6×10^35 

我还认为:所有的黑洞都是相似的。当黑洞的质量更大时,虽然它的外部圈层会略有改变,但其主体部分还是相似的。既然所有的黑洞都相似,质量与半径之比为定值,那我们就可以认为:

中心温度基本不变,即  T = 2.9×10^12 开,为定值。

中心密度与半径的平方成反比   ρ∝ 1/(r^2)

中心压强也与半径的平方成反比   P 1/(r^2)

黑洞的寿命似乎是无限长的。在它存在的漫长岁月里,它还可以通过吞并的方式无限生长,只是机会甚少。更多的行星只是从它旁边一掠而过。黑洞物质当然不会自行“蒸发”。因为这与黑洞的定义是相矛盾的。

但黑洞具有热胀冷缩的性质,其状态十分稳定。假若它的质量与半径之比偏离了标准,那么它就会通过从外边吸热或向外放热的办法调整自己的大小,使之达到标准。

 

三、数学发现

 

(一)我用概率算出了哥德巴赫猜想成立的组数、孪生素数的对数和各种素数的个数

我在《趣谈素数》一文中指出:关于哥德巴赫猜想迄今为止还没有严格的证明,但我们可以根据它发生的概率推算出它可能成立的组数。这也从一定程度上证明了该猜想的成立。积分公式如下.t的积分区间是 2x

n =∫η1η2 dt

=[1–1/sqrt(2t))(1–1/sqrt(4x - 2t)/ ln(t)ln(2x–t)]dt

如当2x = 200时 可以算得 n = 4.6   实际上为8.

…………

利用素数密度公式,我们还能推算“孪生素数”的对数。公式为

n =[1–1/sqrt(2t))(1–1/sqrt(2t+4)/ ln(t)ln(t+2)]dt

t的积分区间是 2x

如当x = 200  可算得  n = 9.6  实际上为 15.

我在《关于素数个数的计算》一文中指出:

(1) x = 2^[2^n] 可算得费马素数只有有限的几个。

   因为费马数的个数是  n = [lnln(x-1) – lnln2] /ln2

   其分布密度是  dn/dx = 1/[(x-1) ln(x-1) ln2]

故得费马素数的个数是等于dx对素数密度和费马数密度乘积的积分。即

 i(x) =[1/ (x-1) ln(x-1) ln2 lnx] dx = 1/ln2 = 1.44

这是因为费马数的密度太低了,而费马素数的密度就更低了,所以如此。

(2) 同理可证梅森素数则有无穷多个。

   因为由  x = 2^n - 1 得梅森数的个数是 n = ln(x+1) /ln2

 梅森数的密度是  dn/dx = 1/[(x+1) ln2]

从而得梅森素数的个数是

 i(x) =[1/(x+1) ln2 lnx)] dx = lnlnx /ln2 =

是勉勉强强的无穷多个,其密度极低。

(3) 还有其它类型的素数个数也同样可用上述方法去推算。例如111……111型(即 (10^n – 1) / 9型)的素数个数也是具有无穷多个;另外还有n^a + ban + b 型的素数个数也都是无穷多等等。

还可以证明:素数序列与自然数列都是同一大小级别的数列,因为它们的倒数之和都为无穷大。自然数的指数只要大于1,那么其倒数之和即为有限大;若是素数就更应该是有限大——可实际上并非如此。这就足见素数在数轴上的分布并非人们一向所说的那么“稀少”,它的数量与自然数的比值尽管趋于0,但两者若是配起对来那可真是“一个也不少”。

(二)我用概率计算证明了“角谷猜想”

我在《我用概率法证明了“角谷猜想”》一文中指出:“角谷猜想”的内容是:任一自然数,逢偶除2,逢奇乘31,那么最终都将回到1,从而进入4-2-1循环。我用概率法所进行的证明如下:

设奇数为a,那么3a +1 必为偶数,除2后大小将减半。

减半后的数 (3a +1)/2 ,有 1/2 的概率为奇数,另1/2 的概率为偶数。

将偶数除以2,大小再减半,为(3a +1)/4 ,其中有 1/4 的概率为奇数,另1/4为偶数。

再将偶数除2,得(3a +1)/8 ,其中有 1/8 的概率为奇数,另1/8为偶数。……

把所有减半后的奇数在乘以各自的概率后再相加即得奇数最可能的大小。为

[(3a +1)/2]×[1/2]+ [(3a +1)/4]×[1/4]+[(3a +1)/8]×[1/8]+ ……

= (3a +1) [1/4 + 1/16 +1/64 + ……] = (3a +1)/3 = a + 1/3

即奇数a,每经过一次循环,即增加1/3,所以长幅是非常缓慢的。但在循环过程中,一旦它成为可以回归的奇数,那么它将必然回归到1

即使能够回归的奇数是有限的,但因为循环过程是无限的,所以它总能变成为可回归的奇数;如果能够回归的奇数具有无限多个,那么它就更容易变成可回归的奇数了。

迄今为止,好像还没有发现不能回归的奇数,只是回归的路线长短有所不同,中间所能达到的最大值不同。例如在比较小的两位数的奇数中,27的回归路线就特别长,中间出现了40个奇数,最大值达到3077

(三)我用概率计算法求出了完全数和盈数、亏数的平均变比

我在《我用概率推出了完全数和盈数、亏数的平均变比》一文中指出:在全部的自然数中,偶数占总的 1/2,这也是它参与构数的概率;

3倍数占1/35倍数占1/57倍数占1/7,…………,q倍数占1/q

故可得k的平均大小为

k = [(2/1)^(1/2)][(3/2)^(1/3)][(5/4)^(1/5)][(7/6)^(1/7)] ……[(q/(q-1))^ (1/q) ]

可以证明k的平均值是有限大的。还可算得:

q = 101  k = 1.78306409…… < 2

这样   x= (k-1)x = 0.78306409 x

可见所有新生数的平均值都要小于原值。总的说来是:亏数居多,盈数较少,完全数则更少。

(四)我发现了近似反应素数序列规律的递推公式

我在《最新最简单的素数递推公式》一文中指出:已知素数Pi -1 Pi ,那么它的下一素数将是

Pi +1 = Pi + ( Pi - Pi -1 ) Pi / (Pi - 1 )

若从i = 2开始,那么则 P1 = 2 P2 = 3 P3 = 3 + (3 – 2 ) 3 / (3 - 1 ) = 4.5

往下可带着小数无限后推。

我在《我们的两个素数递推公式又通过更新的检验》一文中列表说明:在1万号素数上,推算结果的相对偏差是3.08% ;而在1千万号素数上,相对偏差则是1.94% ;有减小的趋势。

我在《素数定理精确式的推导及校正》一文中指出:如果运用算数基本定理,将素数递推公式改写成乘积的形式,那么计算结果比累加形式的还要接近实际。也许这才是我们更理想的递推公式。

我们已经知道:从Pi Pi+1 间的所有整数都是由2 ~ Pi 间的素数构成的,因此若从2开始,连续乘上各素数参与构数的平均倍率,那么即可得Pi+1 的大小。至于各素数参与构数的平均倍率可将它的倍数在数轴上出现的频率作为指数来计算。即

Pi+1 = 2×2^(1/2)×3^(1/3) ×5^(1/5) …… = Pi×Pi ^(1/ Pi )

    = Pi + ln Pi + [(ln Pi)^2] /2 Pi + [(ln Pi) ^3 ] / 6 Pi Pi + ……

我在《我们的两个素数递推公式又通过更新的检验》一文中列表说明:在1万号素数上,推算结果的相对偏差是0.39% ;而在1千万号素数上,相对偏差则是0.005% ;有减小至0的趋势。

(五)我发现了素数和序号的关系式

我在《我终于推出了素数与序号的关系式》一文中指出:

因为 y = dx/di = lnx

所以 i =(1/ lnx) dx = x/ lnx +[1/ (lnx)^2]dx

写出它的级数展开式,并与 x/(lnx – 1) 的展开式相比较,可知当 x 时两者趋于相等。

因而得i = x/(lnx – 1)    这个公式比过去的 i = x/lnx 要精确的多。

由此得 x = i (lnx – 1)

x 循环代入lnx ,又因为lnx – 1 << i << x

所以 lnx lni     最后得  x = i (lni +lnlni – 1)

这样,不管序号有多大,我们就都能比较精确的算出它的素数期望值了。例如第1000万号素数的原值是179424673 ,而计算值则是178980382.5,相对偏差只有-0.2476195% .

(六)我发现了最速运动路线的普适方程及曲线性质

我在《“最速运动路线”终于有了统一的方程》一文中指出:由于介质的折射率与光在其中的运动速度成反比,所以我的广义费马原理公式也可以写成

d ( r sinα/v) = 0                    

式中α是质点运动方向与等速微元面法线的夹角;r是在由运动方向与法线决定的平面内微元面的曲率半径。质点在运动中,虽然vrsinα都在随着地点变化,但其乘积却始终保持不变。

笔者通过进一步的研究发现:该公式竟然有更为广泛的适用范围。它不仅反映了光在所有不均匀介质中的连续传播规律,还确定了质点在所有保守力场(引力场、电场、磁场)中的最速运动轨道,且在某些情况下用起来也特别方便。

在球形对称的辐射状引力场中,如果引力场强与半径成正比,那么最速运动路线就是标准的滚轮内摆线;只要给定路线的始末点,就可以确定滚轮的半径和路线的形状。

而在球形对称的辐射斥力场中,如果斥力场强与半径成正比,那么最速运动路线就是标准的滚轮外摆线;只要给定路线的始末点,也可以确定滚轮的半径和路线的形状。

在平行的匀强力场中,最速运动路线当然也是标准的滚轮摆线,但没了内外摆之分。只要给定路线的始末点,当然也能确定滚轮的半径和路线的形状。

地球表面附近的重力场可以近似为匀强引力场,其最速运动路线为近似的滚轮摆线。

而在地面以下的重力场,其场强与半径则近似成正比,所以其最速运动路线为近似的滚轮内摆线。例如当地下隧道的最深处为1000km 时,滚轮半径为500km,在地面的始、终点距离为3141.59 km .

(七)我发现了精确的素数定理

我在《最精确素数定理的发现及证明》一文中指出:由素数定理可知素数系列的递推式是

Pi+1 = Pi + ln(Pi)    其中P1 = 2

 我们可以利用这个式子将数据推算到无限远处,并把它的序列曲线画出来,这条曲线就是黎曼曲线。

但是在P i 坐标系中我们发现:黎曼曲线总是在真实的素数曲线之下。这说明真实的素数平均增长幅度是大于ln(Pi) 的,原素数定理是不准确的。

那么究竟应该怎样进行修正呢?笔者为此曾经绞尽脑汁,多方进行试探。在经过一系列失败后,笔者才终于醒悟到:原来我们忽略了一个重要乘项——尾倍率。

我们知道:Pi 是素数,所以它的平方根不可能是整数,更不可能是素数,所以进行筛选的最大素数Pr 肯定小于 sqrt(Pi) .

并且sqrt(Pi) 的位置不是固定不变的,而是随机的。它可能略大于Pr ,也可能略小于Pr+1 .虽然Pr Pr+1的平均距离并不大,但是对于Pi 之后的素数增幅却影响很大。

就是说前面我们在用筛剩率的倒数计算素数间距时,必须采用收尾法乘到Pr+1/(Pr+1 -1) 这一项才行。从sqrt(Pi) Pr+1这一段的筛剩率是不可忽略的。只是由于它的位置不定,所以我们只好取它的中间位置。这样以来此项筛剩率就变成了

      sqrt(Pi)/[sqrt(Pi) – 0.5]

在增加了这一项之后素数定理即变成了 

ΔPi = ln(Pi) sqrt(Pi)/[sqrt(Pi) – 0.5] = ln(Pi)/[1 – 0.5/sqrt(Pi) ]

这就是迄今为止最为精确的素数定理。

素数的递推式变为Pi+1 = Pi + ln(Pi)/[1 – 0.5/sqrt(Pi) ]

检验证明:用这个递推式计算绘出的序列曲线比任何其它曲线都更靠近和更多的穿越真实的素数曲线,它就是素数的中轴曲线。

由于精确的素数定理的发现,使得历史上遗留下来的许多疑难问题被迎刃而解。例如关于素数的个数,其精确的计算公式应该为

    i(x) =[1 – 0.5/sqrt(x )] (1/lnx)dx = li(x) -[0.5/ln(sqrt(x))] dsqrt(x)

            = li(x) - 0.5 li[sqrt(x)]

(八)我用概率证明了费马大定理并归纳出一般规律

我在《我用概率证明了费马大定理》一文中指出:

n = 1 时,x + y = z 可有无数组解。因为在整数中,任何两个整数相加的结果必然也还是整数。

但是当n = 2 时,方程 x^2 + y^2 = z^2 的整数解就没有那么随便了,它们必须是特定的一组组整数。其组数大大减少。

而当n = 3 时,方程 x^3 + y^3 = z^3 则根本就没有整数解了。那么其原因是什么呢?

对此笔者曾经思考了多年。但没想到只是在某一天竟然一下子开了窍,找到了问题的关键。原来是:指数越大,整数的乘幂z^n在数轴上的坐标点就越稀疏,从而使任意两整数的同次方幂之和 x^n + y^n 落在坐标点上成为整数的可能性就越小。其概率是 z^n 的导数的倒数。即每组x^n + y^n 能够成为整数的可能性只有

η= 1/[n z^(n-1)] = 1/ [n (x^n + y^n )^(1-1/n) ]

xy在平面直角坐标系的第一区间随意取值时,我们可以用积分的办法算出其中能够让z成为整数的组数。其公式为

    N =∫∫η dx dy =∫∫[(dx dy) / (n (x^n + y^n )^(1-1/n))]

因为在平面直角坐标系上,当z 一定时,由方程 x^2 + y^2 = z^2 所决定的曲线是个正圆;

而由方程 x^n + y^n = z^n  所决定的曲线则是一个近似的圆;

只有当n 趋于无穷大时,它的曲线才能成为一个正方形。

所以当n较小时,我们是可以把方程的曲线当作一个圆来处理的。这样以来,N的积分公式就变成了

N =[(0.5πz dz ) / (n z^(n-1))]

n = 1 时,由方程 x + y = z 所决定的曲线是一条斜的直线。它在第一象限的长度是 sqrt(2) z ,此时能够成为整数的概率是100%,即η= 1/[n z^(n-1)] = 1

所以   N =sqrt(2) z dz = [1/sqrt(2)] z^2

即与z的平方成正比,这意味着在坐标系的第一象限中,遍地都是解。因为不论x还是y,都是可以取任意整数的;而正整数的数量是无穷多,所以它们的组合数将是无穷多的平方,为高一级的无穷多。

n = 2 时,由方程 x^2 + y^2 = z^2 所决定的曲线是一个正圆。在第一象限是一段1/4 的圆周,其长度是 0.5πz ;此时η= 1/[2 z ]

所以   N =(0.5πz dz / (2 z) ) = (π/4) z

即与z成正比,与正整数的个数为同一数量级。这就证明了勾股数的组数为无穷多。

n = 3 时,由方程 x^3 + y^3 = z^3 所决定的曲线只是一个近似的圆。在此为了简化计算,我们仍然按正圆对待,它在第一象限的弧长仍为0.5πz ,整数概率 η= 1/[3 z z ]

   N =[(0.5πz dz ) / (3 z z )] = (π/6) lnz

Nz的对数成正比。这是一个增长十分缓慢的函数,是数量有限与无限增长的分界线。这与实际情况也是相符的。严格的数论虽然已经证明:该方程一组整数解也没有,但是与整数十分接近的解则有无限多组。

一般的,当n 4 时,方程 x^n + y^n = z^n 在第一象限的整数解组数是

    N =[(0.5πz dz ) / (n z^(n-1))]

= [π/(2n (n-3))][1 – 1/(z^(n-3))] ≈π/(2n (n-3))

=π/8 1

因此可以断定:当指数n 3 时,方程 x^n + y^n = z^n 永远没有整数解,费马猜想成立。

当然假如整数内部没有制约关系,完全是随机的,那么该方程也许还有极少量的整数解;但实际情况并不是这样。

 

更一般的规律是:

①费马方程如果在n 比较小的时候没有整数解,那么在n增大以后就更没有整数解;

②对于左边是m元的方程来说,当n m +1 时,方程将永远没有整数解。

例如三元方程   x^n + y^n + z^n =ρ^n

  n 4 时,方程就永远没有整数解;

n = 4 时,方程的整数解很难说。

只有当 n 4 时,方程才会有无数组整数解。

 

 

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