FFT频谱分析原理

采样定理：采样频率要大于信号频率的两倍。

N个采样点经过FFT变换后得到N个点的以复数形式记录的FFT结果。

假设采样频率为Fs，采样点数为N。那么FFT运算的结果就是N个复数（或N个点），每一个复数就对应着一个频率值以及该频率信号的幅值和相位。第一个点对应的频率为0Hz（即直流分量），最后一个点N的下一个点对应采样频率Fs。其中任意一个采样点n所代表的信号频率：

Fn=(n-1)*Fs/N。

这表明，频谱分析得到的信号频率最大为(N-1)*Fs/N,对频率的分辨能力是Fs/N。采样频率和采样时间制约着通过FFT运算能分析得到的信号频率上限，同时也限定了分析得到的信号频率的分辨率。

每一个复数的模值对应该点所对应的频率值的幅度特性，具体的定量关系如下：

假设信号由以下周期的原始信号叠加而成：

Y = A1 + A2 Cos (2*PI*ω2*t + φ2 * PI/180) + A3 Cos (2*PI*ω3*t + φ3 * PI/180)

那么，在经过FFT分析后得到的第一个点的模值是A1的N倍，而且只有在FFT结果点对应的频率在ω2,ω3时，其模值才明显放大，在其他频率点，模值接近于0。在这些模值明显放大的点中，除第一个点之外的其它点模值是相应信号幅值的N/2倍。

每个复数的相位就是在该频率值下信号的相位：φ2，φ3。

FFT结果有对称性，通常我们只是用前半部分的结果，也就是小于采样频率一半的结果。同时也只有采样频率一半以内、具有一定幅值的信号频率才是真正的信号频率。

Python实践FFT频谱分析

假如信号S是有1个直流信号和4个周期信号叠加而成，如下公式所列（t为自变量，pi为圆周率值）现要对其进行FFT分析并绘制频谱图。

S =  2.0  + 3.0 * cos(2.0 * pi * 50 * t - pi * 30/180)
      + 1.5 * cos(2.0 * pi * 75 * t + pi * 90/180)
      +  1.0 * cos(2.0 * pi * 150 * t + pi * 120/180)
      +  2.0 * cos(2.0 * pi * 220 * t + pi * 30/180)

我们先使用Python绘制其1秒内的波形图：

import numpy as np
　　import pylab as pl
　　import math
　　# 采样步长
　　t = [x/1048.0 for x in range(1048)]
　　# 设计的采样值
　　y = [2.0 + 3.0 * math.cos(2.0 * math.pi * 50 * t0 - math.pi * 30/180)
      　　　　+ 1.5 * math.cos(2.0 * math.pi * 75 * t0 + math.pi * 90/180)
      　　　　+  1.0 * math.cos(2.0 * math.pi * 150 * t0 + math.pi * 120/180)
      　　　　+  2.0 * math.cos(2.0 * math.pi * 220 * t0 + math.pi * 30/180)
      　　　　for t0 in t ]
　　pl.plot(t,y)
　　pl.show()

波形图如图1所示。

http://s15/bmiddle/001bcEnRgy6Y8BWVWZofe&690
图 1 信号S在1秒内的波形

现在我们要对该信号在0-1秒时间内进行频谱分析，我们在这1秒时间内采样1048点，则我们的采样频率为1048Hz。这两个设定决定了我们频谱分析所能得到的最高信号频率是1047Hz (1048Hz*(1048-1)/1048)，但只有小于524Hz的频率才可能是真实的信号频率。我们能分辨的最小频率差为1Hz（1048Hz/1048)。输入如下的python代码：

N=len(t)    # 采样点数
　　fs=1048.0     # 采样频率
　　df = fs/(N-1)   # 分辨率
　　f = [df*n for n in range(0,N)]   # 构建频率数组

使用下面的代码进行快速傅里叶变换并对结果模值进行缩放：

Y = np.fft.fft(y)*2/N  #*2/N 反映了FFT变换的结果与实际信号幅值之间的关系
　　absY = [np.abs(x) for x in Y]      #求傅里叶变换结果的模

此时我们得到了信号的FFT分析结果，它存储在列表Y内，同时我们也获取了Y内每一个元素（是复数）的模组成的列表absY。根据理论分析，absY内的元素大部分都极其接近0，只有极少数峰值提示的是信号频率的幅度。我们写一小段代码显示幅度较大的信号的信息。代码如下：

i=0
　　while i < len(absY):
       　　 if absY[i]>0.01:
              　　   print("freq:M, Y: %5.2f + %5.2f j, A:%3.2f, phi: %6.1f"

　　　　　%(i, Y[i].real, Y[i].imag, absY[i],math.atan2(Y[i].imag,Y[i].real)*180/math.pi))
    　　　i+=1

该段代码的执行结果如下：

freq:   0, Y:  4.00 +  0.00 j, A:4.00, phi:    0.0

freq:  50, Y:  2.60 + -1.50 j, A:3.00, phi:  -30.0

freq:  75, Y:  0.00 +  1.50 j, A:1.50, phi:   90.0

freq: 150, Y: -0.50 +  0.87 j, A:1.00, phi:  120.0

freq: 220, Y:  1.73 +  1.00 j, A:2.00, phi:   30.0

freq: 828, Y:  1.73 + -1.00 j, A:2.00, phi:  -30.0

freq: 898, Y: -0.50 + -0.87 j, A:1.00, phi: -120.0

freq: 973, Y:  0.00 + -1.50 j, A:1.50, phi:  -90.0

freq: 998, Y:  2.60 +  1.50 j, A:3.00, phi:   30.0

该段结果很好的反映了原始信号的频率、幅度和相位，我们在代码中已经对FFT结果与信号幅值做了一个换算2/N，但在0Hz处，实际的信号应该是FFT结果的1/N，也就是A：4.00再除以2。

使用如下代码绘制频谱图，得到图2：

pl.plot(f,absY)
　　pl.show()

 http://s7/bmiddle/001bcEnRgy6Y8C6m0PI76&690
图 2 信号S的频谱分析图

　由图2可见，频谱分析的结果具有对称性，同220Hz对称的频率为828Hz，可以计算出对称轴为524Hz。但只有小于524Hz的频率才是信号频率。我们通过修改采样频率和采样点数，我们发现作为对称轴的频率会变化，同样的对称轴右侧的信号频率也会发生变化。提示右侧的频率没有实际意义，这也从一个方面印证了采样定理。

本文大量参考了博文：利用matlab怎样进行频谱分析 在此对博主表示感谢，原文链接：http://blog.sina.com.cn/s/blog_a07f4fe301013gj3.html.