加载中…
个人资料
保持快乐保持健康
保持快乐保持健康
  • 博客等级:
  • 博客积分:0
  • 博客访问:112,585
  • 关注人气:22
  • 获赠金笔:0支
  • 赠出金笔:0支
  • 荣誉徽章:
相关博文
推荐博文
谁看过这篇博文
加载中…
正文 字体大小:

雅可比(Jacobi)矩阵的若干应用

(2009-01-07 20:17:29)
标签:

it

分类: 美丽的数学

雅可比矩阵

 

mn元函数u=ui(x1, x2, ..., xn)的偏导数雅可比(Jacobi)矩阵的若干应用(其中,i=1,..,m; j=1,...,n)为元素的矩阵:

           雅可比(Jacobi)矩阵的若干应用

如果把原来的函数组看作点x(x1, x2, ..., xn)到点u(u1, u2, ..., um)的一个变换, 则在偏导数都连续的情况下, ux的变化可由相应的微分方程组描述, 如下:

           雅可比(Jacobi)矩阵的若干应用

该方程组是一个关于微分的线性方程组,中其系数矩阵即是上面的雅可比矩阵, 记为J, 因此可写成矩阵形式:

 

           雅可比(Jacobi)矩阵的若干应用

 

应用一:机器人学

下图是一个两自由度的平面机械手

雅可比(Jacobi)矩阵的若干应用

容易求得未端点的位置为:

雅可比(Jacobi)矩阵的若干应用

对其微分, 可得:

     雅可比(Jacobi)矩阵的若干应用

写成矩阵形式:

      雅可比(Jacobi)矩阵的若干应用

简写为dx=Jdθ, 其中的J称之为机械手的雅可比矩阵,反映了关节微小位移dθ与手部(手爪)微小运动dx之间的关系.

它可看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比,同时也可用来表示两空间之间力的传递关系.

 假设关节速度为雅可比(Jacobi)矩阵的若干应用,未端点速度为雅可比(Jacobi)矩阵的若干应用 ,对dx=Jdθ两端同除以dt, 得

          雅可比(Jacobi)矩阵的若干应用

因此, 机械手的雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空间速度的线性变换,v为机械手未端在操作空间的广义速度, 或称操作速度, w为关节速度.

以上可以扩展到三维空间多自由度的情形.

 

 

应用二,非线性最小二乘

  如果定义 ri(x)=yi-f(ti,x) (其中i=1,...,m)为残留函数。

则问题为函数:

          F(x)=r(x)雅可比(Jacobi)矩阵的若干应用r(x 的最小化问题。

   这里的ri(x),即是前面的ui。只不过(ti, yi)作为不同的采样点,产生不同的ui,但它们形式是一样。采样点个数即ui的个数。

 

F(x)xk泰勒展开为

    雅可比(Jacobi)矩阵的若干应用 

这里的雅可比(Jacobi)矩阵的若干应用为梯度向量,AkF(x)的Hessian矩阵(二阶导矩阵)。

 

根据牛顿法有:雅可比(Jacobi)矩阵的若干应用

 

由于

雅可比(Jacobi)矩阵的若干应用

雅可比(Jacobi)矩阵的若干应用,其中雅可比(Jacobi)矩阵的若干应用ri(x)的Hessian矩阵。

因此,步长雅可比(Jacobi)矩阵的若干应用可通过解关于r(xk)、r(xk)的Jaccobi矩阵和Hessian矩阵的线性方程求解:

雅可比(Jacobi)矩阵的若干应用 

 如果把上式中雅可比(Jacobi)矩阵的若干应用一项去掉,就得到高斯-牛顿法;如果用ukI来代替,就得到Levenberg-Marquardt法。

0

阅读 评论 收藏 转载 喜欢 打印举报/Report
  • 评论加载中,请稍候...
发评论

    发评论

    以上网友发言只代表其个人观点,不代表新浪网的观点或立场。

      

    新浪BLOG意见反馈留言板 电话:4000520066 提示音后按1键(按当地市话标准计费) 欢迎批评指正

    新浪简介 | About Sina | 广告服务 | 联系我们 | 招聘信息 | 网站律师 | SINA English | 会员注册 | 产品答疑

    新浪公司 版权所有