自古以来训练逻辑严谨的最好方法

abada张宏兵

读欧几里德《几何原本》是训练逻辑严谨的最好方法之一。

以前普通人读到第一卷命题5，就难以理解、难以过关。其实，至今命题3对普通人仍然是比较难理解的。

命题3就是：（用圆规和无刻度的直尺）在一较长已知线段上截取一线段，使其等于较短的另一已知线段。 如图：

通常，人们会费解，这不很简单吗？用圆规截取较短的已知线段为半径，然后在较长的线段上一画不就得了吗？欧几里德为何要如此周折，要用两个命题做铺垫，直到第三个命题，才在前两个命题的基础上作出呢？

原来，这是为了逻辑的严密。如果直接用圆规截取，《原本》的定义、公设、公理系统中，没有命题能直接保证：一个圆规离开圆心后，其半径能保持到与另一个不同圆心的圆的半径相等；而只能保证：同一个圆上的各点到这个圆的圆心的距离相等。或者说, 在<原本>中,  给定圆心则圆规可以画圆(画出的各点与圆心的连线相等), 而"圆规可以离开圆心平移线段" 是多余的假设, 是可以用奥卡姆剃刀去掉的.

最少基本预设：

1）圆规画的是元；

2）直尺画的是直线。

而圆的定义，是线上的点，到一定点的连接线段，都全等（合同）。

如图是欧几里德的严谨作法（笔者综合了前3个命题的图样）：

其实，后来的数学家发现，欧几里德的逻辑严密性，仍然是有一点漏洞的。质疑就是：为何说两圆、或圆与直线必有交点？其充要条件是什么？

在《原本》中没有公理可以逻辑地保证这一点，只是通过作图直观地“看到”这一点。真正的逻辑保证，还要引入“连续性公理”等。而这是后世数学家直到20世纪才最终完成的。