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0是不是合数?

(2010-01-10 04:06:46)
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育儿

合数

昨天早晨起来打开手机,赫然跳出两个来电提醒,都是家里的电话。老关出差了,不可能是他,所以心急火燎地往家打电话。岳岳接的电话,一听岳岳清脆的那声妈妈,心终于落在地上。

我问岳岳,是不是刚才给妈妈打电话了?岳岳说是。我说有事儿吗?(这句话问完就后悔了,问得太失败了,没事儿就不能给妈妈打个电话了?)果然岳岳回答:没事儿。那我说跟妈妈说说最近过得开心吗?岳岳说very happy。现在岳岳和我说话似乎很喜欢蹦一两句英语,就像我问他晚上去吃米线了吗?(昨天和我妈通话知道他们计划去吃米线)岳岳说No。我说为什么啊?他说I don't like that. 呵呵,好啊,回头咱们全家就改说英语好了。

岳岳给我打电话一定有什么事儿想和我说,当妈的我还是很了解他的。我说今天在学校有没有什么高兴事儿啊?几年来的习惯,下午接了岳岳第一句话总是问他一天过得开心不开心。岳岳说有,数学测验考了100,语文测验考了100,还得了一张喜报。岳岳特别强调说这次数学测验全部都是脱式计算题,他一个也没错。小马虎也知道自己的弱项了,赶紧抓紧时间表扬了一番。以为就此打住了呢,其实,岳岳的正题还在后面。

岳岳说妈妈我前几天数学测验考了96,我说没关系呀,继续努力。岳岳接着说我觉得我错的两个题有问题,(其实他就是觉得老师说得不对),我说什么题啊?他复述了第一个题目:20以内(包括20)的自然数中,质数有      个,合数有      个。岳岳说我填的是812,老师说应该是811,我填12个合数因为我觉得0是合数。岳岳还反复给我强调了他这样考虑的原因是因为0是自然数,所以20以内的自然数中包括0。我听了想了想说,0是自然数没有问题,但是一般我们谈质数和合数的时候都是对于正整数来说的(岳岳已经知道什么是正数和负数了)。岳岳说妈妈书上不是这么说的,书上没有明确说0是不是合数,但是我觉得按照书上说的0就是合数,小家伙给我列举了两条理由:第一,老师上课的时候说:如果一个自然数有3个或者3个以上的约数,这个数就是合数。你看0n个约数,肯定有三个或三个以上的约数了,那按这个说法当然就是合数了。嗯,有道理。但是我马上给他纠正说不能说0n个约数,一般来说有n个表示有有限个,应该说0有无限多个约数。岳岳马上接口说应该说0有无限个约数,都无限了还说什么无限多啊。哈哈,我说无限多个是常用的一种数学表述,没有问题。小家伙开始怀疑一切打倒一切了。接着,岳岳给我阐述了他认为0是合数的第二个理由,他说我们书上有一句话最小的合数是4(在不包括0的情况下),你看,这样说不就意味着0是合数嘛。对,字面理解完全正确,这种说法的隐藏含义就是0是合数。岳岳的分析很到位,如果按照冀教版上的说法,综合以上两点,0就是一个合数。可我觉得0不应该是合数,岳岳这么一说我也不知道到底怎么处理这个0了,只好给他说我再好好上网查查,看看到底对于0是怎么约定的。

紧接着,岳岳给我说了第二个题目:全体自然数可以分为质数、合数和       。岳岳说我填的是独立数,老师上课就是这么说的,但是老师说应该填1。我马上说按老师上课说的填错了也没关系,但是这个地方到底填什么的关键问题还是0究竟是不是合数。如果按照上面题目老师的解答,0不是合数,那这个地方就应该填01。如果这个地方只填1,那就说明0是合数,上面那道题就应该填812。老师这两个题目的答案是矛盾的,不可能都对。

后来,我和岳岳同学继续讨论了关于数轴的话题,不知道他从哪儿听来的居然说数轴应该有左右两个箭头!我反问他如果左右都有箭头那怎么区分哪边表示正数哪边表示负数呢?他接受我的观点(当然得接受,我说的是真理嘛!)。我给他列举了数轴的三个要素,然后问了他几个点在数轴上的位置,涵盖了正整数,负整数和正分数,全部回答正确。我们还继续讨论了关于无限循环小数和分数之间的关系,他还没有掌握如何将无限循环小数化成分数,不过小家伙竟然说无限循环小数就是无理数!知道的挺多,哪听来的无理数,我赶紧纠正,不是哈!太远了,电话里说不清楚了!回国以后一定要让岳岳同学对于数系有一个比较正确的认识。

回到主题,0到底是不是合数呢?我上网进行了搜索,发现很多人问这个问题,主流回答是0不是合数。其实,这种问题产生的本质是因为在1993对于自然数的定义发生了改变,我们小时候数学课本中明文约定0不是自然数中,因此上述题目在0不是自然数的情况下答案显然是唯一确定的,但是现在的自然数包括了0,所以答案就应该相应地改变。网上有一段回答比较经典,复制如下:

过去,在教学中,关于自然数的组成,有两种情况:一是所有奇数和所有的偶数组成自然数集合;二是所有的质数与所有的合数及1也组成自然数集合。现在0也成为了自然数集合的一员,因而有许多教师提出这样的问题:0是不是合数?
   
前面已经谈过了,以后在研究约数和倍数时,我们所说的数一般不包括0”,但作为一种学术研究,进行探讨也未尝不可。我们以为,0的约数有无数个,根据《九年义务教育六年制小学数学》第十册中关于合数的定义:一个数,如果除了1和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数。似乎应该把0划归为合数范围,但仔细一想:0是个特殊的自然数,因为所有非零自然数都有本身这个约数。如:11的约数,2也是2的约数……,而0不能被0整除,0恰恰少了0“本身这个约数,因此,它不能归为合数。试想:假设如果0是合数,0分解质因数就是“0=0×2”,这种是质因数相乘的形式吗?这就与每个合数都可以写成几个质数相乘的形式产生了矛盾。所以,我们主张把0划归为既不是质数,也不是合数的范围。

不论岳岳在测验中的回答到底对还是不对,他这种一丝不苟的精神还是非常值得表扬的,敢于向老师说不的做法也是非常值得提倡的,估计他就是想让我去和老师评评理,呵呵。曾经出现过这样的情况,老师给岳岳某道题目判错了,我还真写了点东西给老师,后来想想,我给岳岳纠正过来就算了,起码岳岳现在还是比较信服我的说法的。事实证明这种做法是非常正确的。岳岳的英语老师曾经留了一篇文章回来让孩子背诵,岳岳都背哭了也没背过,我过去看看是什么东西,一看,里面竟然有语法错误,还有用词不当。我当时就全部标出并做了详细的注解让岳岳带给他英语老师了,我想不能让全班六十多个孩子都背错误的文章啊。英语老师给我发短信说谢谢对她工作的支持,我说不客气,应该的,没当回事儿。结果过了很久以后,我都把这件事情快忘了,会娟找我说这件事情,我大吃一惊,去问班主任,她说英语老师对我意见大极了,唉!

说远了哈。其实,有时候一些题目想多了反而复杂了,如果想不到考虑0,所有的问题答案都很容易。其实我很赞同网上的一种观点,说他们在这个阶段出题目都加上限定词“非0自然数”。写到这里想起来岳岳三年级第一学期的时候发生的一件事情。在那个学期的期末考试前,他们年级组织了一次小规模的数学竞赛,每个班选了5位同学参加。当时有一道题目是这样的:在一个宽1米高2米的门框上贴5厘米宽的木条,计算一下需要木条的长度。当时他们所有的孩子都没有考虑到要考虑木条的宽度,所以老师就仔细给他们讲解了一下,回家以后岳岳给我说了这道题目,我又给他讲了一遍,并顺便出了好几种变化的题目让他练了练。结果,期末考试数学有一道类似的题目,只不过把木条宽度这个条件去掉了,但是卷子上画了一个门框,上面的木条明显是有宽度的。这下可把岳岳同学难坏了,没有给宽度怎么做啊?据说这道题目想了很久很久,最后实在找不出条件,只好按照不考虑宽度做的,但是题目的第二问忘了做了,我非常理解孩子,估计是到交卷前的最后一刻实在没办法了才写上去的,第二问是给出木条每米的价格,问买木条需要花多少钱。李轩妮同学也参加了数学竞赛,期末考试时也是在同一个题目上不知道怎么做了,最后小姑娘一着急,好了,宽度就按1米算吧,整道题目全部错了。后来他们数学老师在班上评论他俩:岳岳同学是全年级四个班唯一一个落题没做的学生(第二问5分,岳岳考了95),轩妮是好学生考砸的学生(本题全错,考了90,期末考试全班60多个人50多个都90分以上),呵呵!这俩好朋友,真是有福同享,有难同当哈!一般的学生根本不考虑木条宽度,就是一道很容易的周长题!不过客观地说,这道题目出得很不严密,既然图中画了宽度又不考虑,就应该在题目中明确标出不考虑木条宽度。

孩子的成长,就在一个又一个不经意间。突然发现孩子真的是长大了,开始思考问题了,开始有自己的思想了,开始和我辩论了。和岳岳聊天,的确是一个非常愉悦的过程,半小时的电话,让我花几倍的时间来写这篇日志,但是,我快乐着,幸福着。

 

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