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数学的神秘美

(2011-01-21 17:14:30)
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杂谈

分类: 数学文化

数学的神秘美

  


  "哪里有数,哪里就有美"(Proclus).数学中有许多新奇、巧妙而又神秘的东西吸引着人们,这是数学的趣味、魅力所在,它们“像甜蜜的笛声诱惑了如此众多的‘老鼠’,跳进了数学的深河”.数学的诸类问题中,最显见、最简单、最令人感到神秘的莫过于数的性质问题了.人类社会中,数是一种最独特,但又最富于神秘性的语言.生产的计量、进步的评估、历史的编年、科学的构建、自然界分类、人类的繁衍、生活的规划、学校的教育、……无不与数有关.

  远在古代人们就已对“数”产生了某种神秘,在古希腊毕达哥拉斯学派眼中,“数”包含着异常神奇的内容.有些民族根据数的算术属性,对自然界和人类社会的现象给出神秘的解释,尽管其中不无荒诞、牵强,……这些事实反过来告诉我们:自古以来人们对“数”有着特殊的感情.数字与人们的生活有着密切的联系.然而你或许不曾注意到,有些数字似乎与人们的“交往”更为密切,更加深邃……以至生活处处不可思议地显示着与它们的神秘的巧合.在古希腊:

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  1:被看作万物的开端,由它派生了整个世界.

  2:则意味着爱情.而其他数字中的文化现象则有如下叙述:

  3:物有“三态”(气、液、固),天有“三光”(日、月、星),人有“三宝”(精、气、神),空间有“三维”.我国有“三教”(儒、道、佛),宗教中有“三位”(圣父、圣子、圣灵)一体,军队有“三军”(海、陆、空),三个月为一季.成语中有“三朝”元老、“三皇”五帝、“三坟”五典、“三令”五申、“三番”五次、“三心”二意、“三思”而“后行”,“朝三”暮四、

  4:天有四季(春、夏、秋、冬).面有“四方”(东、南、西、北).经书上称地、火、水、风为“四大”.人的双手双脚叫“四体”.地球上有四大洋(太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋).口语中有五湖“四海”、“四平”八稳、“四通”八达.

  5:为约数之首(四舍五入),学说中有五行(金、木、水、火、土),粮食统称五谷,名山有“五岳”,一夜分“五更”,人体称为“五体”.

  7:在数学中是个质数.一周有“七天”(据说是古代巴比伦人留下的计日制).我国有“七曜日”(日、月、金、木、水、火、土).日光可分解成“七色”(红、橙、黄、绿、青、蓝、紫).音乐中有“七个音符”.人脸有“七窍”(耳、鼻、口、眼).人身也有“七窍”.人的情感有“七情”(六欲).地球的陆地分为七个洲(也有五大洲之说).牛郎织女相会在“七夕”……有趣的是:七在伊朗是一个重要的数字,伊朗人过年要摆上“七种”物品的拼盘以迎新春,女儿出嫁要穿“七色”染成的新装以贺新喜.数字7和穆斯林的宗教礼节和习俗也有密切联系.他们每隔7天举行一次聚礼;开斋节念的大赞词要念7遍;朝觐仪式多用7或7的倍数来进行.据说这与伊斯兰教立法据典《古兰经》的提示有关.7与人的年龄阶段也有关系:婴幼儿期到7×1=7岁止;儿童期到7×2=14岁止;少年期到7×3=21岁止;青年期到7×4=28岁止;中年期到7×7=49岁止;更年期至7×9=63岁止.

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  8:谐音“发”,颇为南方人垂青.易经中有“八卦”,地方“八方”,结拜兄弟要“八拜”,空间分为八个卦限;连封建社会考官也要做“八股”.传说中有“八仙”.杨州书画家有“八怪”,佛经中有“八戒”.

  9:谐音为“久”,是数字0、1~9的终端,是一切事物的顶点,《素问·三部九侯论》说:“天地之至数,始于一,终于九.”9是极阳数,含有“至高无尚,吉祥如意”的意思.如天有“九重”,地方“九层”,水有“九渊”,国土称“九州(神州),人分“九等”(三、六、九等),官设九品,物类高下分“九段”,黄河称“九曲”,龙有“九龙”.9实为祖先宠爱的数字.皇家建筑更是与9结下不解之缘,其建筑物数及台阶数,甚至石块数、殿堂立柱数皆为9或9的倍数.太阳系有九大行星(金、木、水、火、土、天王、海王、冥王、地球).9月9日视为重阳节,九九称为艳阳天.

  10:人一双手有十个指头,这就构成了十进制基础.生活有“十全十美”、“十万”火急、“十恶”不赦等口语.

  12:一年有十二个月.一日有十二个时辰(子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥).人有十二属相.古代城有“十二座城门”……祖国医学认为:人体有12经脉(它们与12脏器相对应),以其沟通人体脏腑、表里、上下的联系.十二件物品为一打,十二先令为一镑,……12×3=36,兵法中有“三十六计”,《水浒》里有“三十六天罡”,秦代天下分三十六郡.36×2=72,《西游记》中孙悟空有72变.《水浒》里有“七十二地煞”.36×3=108《水浒》中有一百零八将.泰山有108磴,沈阳福陵有108阶…….寺庙岁尾敲钟108下,在《素问·六节藏象论》有“五日谓之候,三候谓之气,六气谓之时,四时谓之岁”之说,这样一年中有72候,24气,加上12个月,三者之和恰为108.关于108的来历也有下说:一年分春夏秋冬四季,每季分孟、仲、季三月,共十二个月;十二个月又分成二十四节气.十二个月、二十四个节气,相加就是三十六.古人又把每五天算作一候,一年又有七十二候.36气与72候相加即为108.

  13:在西方一些国家是不吉利数字,据说耶稣和他的十二个门徒共进晚餐后因被叛徒犹大的出卖而被捕,从此13便成了不吉祥的数.西方一些国家门牌没有13号,旅馆无13号房间(据说我国一些高级宾馆也无此号房间),上海人也把他们讨厌的人叫做“13点”.在我国对13不存偏见,反而时见宠幸,如佛塔必为13层,帝王养子常凑成“十三太保”.武林中有“十三妹”.

  60:古代巴比伦人使用的是60进制.时间上1小时为60分钟,1分钟为60秒;角的度量中,1°=60′,且1′=60″.我国古代计年利用天干(甲、乙、丙、丁、戍、己、庚、辛、壬、癸),地支(子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥)配对,便有“花甲”之说.应该说明一点:一切科学的起源都可以追溯于人们对神秘不解的思索:星相学先于天文学、化学产生于炼丹术、数论的前身是一种神数术(至今人们或许还可发现它在某些事情中的影响).6、7、40是希伯莱人的预兆数字,基督教的神学把7继承下来,巴比伦人偏爱60和它的倍数.

  毕达哥拉斯学派的学者们认为:偶数是可分解的,从而是容易消失的、属于地上的、阴性的(在我们古代也称之为“阴数”,比如在“河图”、“洛书”中均如此);奇数是不可分解的(当然不是指因数分解),从而是属于天上的、阳性的(在我国古代称之为“阳数”).(在我国奇数象征白、昼、热、日、火,偶数象征黑、夜、冷、地、水)此外,他们还认为:每一个数都与人的某种性质相合:“1”表示理性,因为理性是不变的(它不被看作奇数,而是视为一切数的源);“2”表示意见;“4”代表公平,因为它是第一个平方数(即两个相等数的乘积);“5”表示婚姻,因为它是第一个阴数2与第一个阳数3的结合.当然,毕达哥拉斯学派的学者,对于数字的崇拜已达到“神话”的程度,他们崇拜“4”,因为它代表四种元素:火、水、气、土;他们把“10”看成“圣数”,因为10是由前四个自然数1、2、3、4结合而成.此外,他们还崇拜完全数、亲和(相亲)数、……因为这些数中蕴含着“神奇”,这些也正是人们研究它、探索它的动力之一.

  数字中许多颇具魅力、令人叹赏的性质,也使许多大科学家、文学家、艺术家们大为感慨,伽利略曾记过:“数学是上帝用来书写宇宙的文字”.公元前三百多年,古希腊伟大的数学家欧几里得在他编著的《几何原本》第九章中,有这样一段奇妙的记载:在自然数中,我们把恰好等于自身的全部真因子之和的数,叫做“完全数”.如6、28、496和8128这四个数就是完全数.验证一下:6的全部真因子之和1+2+3恰好等于6;28的全部真因子之和1+2+4+7+14恰好等28.同样,496和8128也有相同的性质.多么神奇啊!难怪有人把它们称为自然数中的“瑰宝”.但是,完全数的神奇之处并不仅限于此,数学家们还在这寥寥无几的数字中发现了更为令人惊叹的特性.请看:(1)6=21+22;28=22+23+24;496=24+25+26+27+28;…….(2)6=1+2+3;28=1+2+…+7;496=1+2+3+…+31,…….(3)除6外,28=13+33;496=13+33+53+73;…….(4)完全数的全部因子的倒数和都等于2:瞧!这么多完美的性质,它们真无愧于“完全”数的美称!

  然而,惊叹之余,数学家们还有更高的“奢望”,那就是如何找出完全数内在的规律性.这方面的“至圣先师”仍要首推欧几里得.他在《几何原本》的第九章中,还给出一个著名的命题,即“若2p-1为素数,则(2p-1)2p-1是一个完全数”,这就为后人寻找新的完全数伏下点睛之笔.但是,自然数浩如烟海,完全数又如沧海一粟,在这渺渺茫茫的数海中,寻求千古之谜的谜底谈何容易!数学家们经过了一千五百多年的探索,结果仍是“上穷碧落下黄泉,两处茫茫皆不见”.直至1460年,人们偶然发现一位无名氏的手稿中竟神秘地给出了第五个完全数:33550336.继而,法国数学家梅森在寻找2p-1形式的素数上有了突破,几个新的完全数又应运而生.1730年身在瑞士的数学大师欧拉又给出一个惊人的结论,即“若n是一个偶完全数,则n=2p-1(2p-1)”.这一成就使欧拉与欧几里得在完全数的研究领域中平分秋色!令人遗憾的是,到目前为止,人们仅找到30个完全数(它们恰好与麦森质数对应),并且它们都是偶数,是否存在更多的完全数或奇数完全数?这仍是待揭之谜!1972年有人证明:要找奇完全数,只能在大于1050的数中找,且它必须为p4a+1q2形式,其中p为奇质数,a和q为整数.到了1982年这个下限已增至10120,且目前仍在看涨.我们再来看看“亲和数”或“相亲数对”的奇妙性质.

  远古时期,人类的一些部落把220和284两个数字奉若神明.男女青年结缔婚姻时,往往把这两个数分别写在不同的签上,两个青年在抽签时,若分别抽到了220和284,便被确定结为终生伴侣;若抽不到这两个数,他们则因天生无缘,只有分道扬镳了.这种缔婚方式固然是这些部落的风俗,但在某种迷信色彩的背后,倒也有些说道.表面上,这两个数字似乎没有什么神秘之处,然而,它们却存在着某些内在的联系:能够整除220的全部正整数(不包括220)之和恰好等于284;而能够整除284的全部正整数(不包括284)之和又恰好等于220.这真是绝妙的吻合!

  也许有人认为,这种“吻合”极其偶然,抹去迷信色彩,很难有什么规律蕴含于其中.恰恰相反,这偶然的“吻合”引起了数学家们极大的关注,他们花费了大量的精力进行研究、探索,终于发现,“相亲”数对不是唯一的,它们在自然数中构成了一个独特的数系.   第一对相亲数(220,284)也是最小的一对,是数学先师毕达哥拉斯发现的.第二对相亲数是1636年由法国天才的数学家费尔马找到.第三对于1638年被笛卡几发现.第二对最小的相亲数(1184,1210)的发现者竟是一个名不经传的16岁的孩子,时间是19世纪末叶〕1750年,瑞士伟大的数学家欧拉,一个人就找出了59个“相亲”数对!迄今为止,人们已经找出了如1184和1210,2620和2924,5050和5564等大约1200对“相亲”数.到1974年为止,人们所知的一对最大的亲和数是: 34·5·11·528119·29·89·(2·1291·528119-1),34·5·11·528119·(23·33·52·1291·528119-1).从两个数字偶然的相关性竟引出了数论中的一个丰富的数系,这确实令人惊叹不已.其实,在科学史上,类似“相亲”数对这样的趣谈不胜枚举.寻求相亲数有许多办法,阿拉伯数学家们叙述了这样一个办法:对于n>1,若a=3·2n-1,b=3·2n-1-1,c=9·22n-2-1,只要a、b、c全为质数,则数偶(2nab,2nc)即为相亲数对.比如n=2时产生相亲数对(220,284).

  新近,人们又把亲和数对推广成亲和数链,链中每一个数的因子之和等于下一个数,而最后一个数的因子之和等于第一个数(因而链是封闭的).比如12496,14288,15472,14536,14264便是一个相亲数(五环链),再如:①2115324, 3317740,3649556,2797612;②1264460, 1547860,1727636,1305184,便是两条四环相亲数链.1965年滑铁卢大学的福赖尔(K.D.Fryer)发现一个以14316打头的有28环的相亲数链.此外人们还研究了所谓“半相亲数”等问题.质数、合数的研究自古以来就为人们所偏爱,这也正是《数论》这门学科至今不衰的缘由.质数是无穷多的,这一点早为古希腊学者欧几里得发现并证得.然而人们一直试图找到质数表示的解析式.2p-1,当p是合数时它是合数;反过来当p是质数时,它却不一定是质数.1644年,法国一个名叫麦森的人宣称:2p-1当p=2,3,5,7,13,17,19,31,61,127,257时,都是质数,这一发现曾轰动当时的数学界,据说连欧拉对此也极感兴趣.其实麦森本人只验算了前面七个,后面四个虽未经验算(它的计算量很大),但人们似乎对之笃信不疑.1903年在纽约的一次科学报告会上,数学家科尔做了一次无声的报告,他在黑板上先算出267-1,接着又算出193707721×761838257287,两个结果相同.他一声不响地回到了座位上,会场上却立刻响起了热烈的掌声(据说这是该会场第一次).他否定了267-1是质数这个两百年来为人们所坚信的概念.短短的几分钟,花去了数学家三年的全部星期天.无独有偶,波兰数学大师斯坦豪因斯曾指出:七十八位的数2257-1是合数,可以证明它有因子,但其因子尚不知道(这一点我们前面曾谈起过).这个结论是拉赫曼(Lehmer)在1922年~1923年间花了近700个小时才证出来的〔类似的例子还有如2101-1是个31位数,知道它有两个质因子(其中一个至少有11位),但人们却不知道它是什么.又如+1,人们知道了它的一个最小的质因子p=5×21947+1(它有587位),但人们仍不知它的其他因子是什么〕.

  电子计算机问世(1946年)之后情况有些改变,对于某些单调、重复而繁琐的计算,可让机器去完成.1952年,人们在SWAC电子计算机上仅花了48秒机上时间,便找到2257-1的一个因子.(这儿插一句:1984年美国数学家在桑迪亚国立实验室的一台克雷计算机上花了32个小时解决了一个存在三世纪之久的麦森质数表中最后一个麦森合数2251-1的质因数分解问题(① 此系美国报刊报道的数据,此处疑有误,该数应为2251-1除去27271151后的余因子.),它有67位,它分解后的三个因子分别是:178230287214063289511、61676882198695257501367和1207039617824989303969681.)它的证明应用了我们提到过的抽屉原理.这又一次否定了麦森数表中的另一个质数(其实在小于257的质数中,p=61、89和107时,2p-1也是质数).电子计算机的出现,给人们验算和寻找麦森型质数带来了方便.1914年到本世纪五十年代几十年间,人们仅把麦森质数的纪录推到p=127(它有39位),而五十年代后仅九个月,数字纪录便不断被刷新:p=521、607、1279、2203、2281、3217、4253、4423、9689、9941、11213.1971年3月4日晚上,电视台中断了正常节目播放,而发表布鲁思特·托克曼用电子计算机找到P=19937时,2p-1是质数的消息.1979年,美国一位中学生诺尔在计算机上发现p=23209时,2p-1是质数(它有6987位).同年,美国人斯洛温斯基找到更大的麦型质数p=44497时(它有3395位).1983年1月,这位美国人在CRAY-1型计算机上发现p=89243(2p-1有25962位)时,接下来的纪录是1983年未发现P=132049时(2p-1有39751位)、1985年发现P=216091时(2p-1有65050位)、1992年3月发现P=756839时(2p-1有227832位)、1994年1月发现p=859433时(2p-1有258716位),1996年9月发现p=1257787(2p-1有378632位),2p-1是质数,其中最后一个也是迄今为止,人们发现的(认识的)最大质数.顺便讲一句:麦森质数及费尔马质数尾数,我们是可以算出来的,这只须注意到下面的2n方幂尾数表:它们以4为周期循环.这样麦森质数的尾数只能是1、3、7(它不能是5,以5结尾的数为合数,除5之外);而费尔马数Fn=+1的尾数是:F0=3;F1=5;n≥2时,Fn的尾数是7.

  “素数是无穷多的”.这是古希腊数学家欧几里德给出的结论.但是,古往今来,许多数学家都对寻找世界上可被认识的最大素数有极大的兴趣.当你回顾漫长的“数学历程”时,会发现许多妙趣横生的记载.让我们从1772年谈起吧.当时,瑞士大数学家欧拉在双目失明的情况下证出231-1=2147483647是一个素数,它具有10位数字,堪称当时世界上已认知的最大素数.这是寻找“最大素数”的先声.从素数表中,除了欣赏那些大得惊人的素数之外,你可能发现了一个怪现象:怎么都是形如2p-1的素数?是的,这种数被数学家们称为“梅森素数”,这是为纪念十七世纪法国数学家马林·梅森的贡献而命名的.远在1644年梅森就推测231-1和2127-1是素数(他还给出其他一些2p-1型的素数.这其中有几个是错的),但他没有给出证明.其中的2127-1直至二百多年后才被证明,它是电子计算机诞生之前人们认识的最大素数.到目前为止.人们才找到33个梅森素数,并且无论哪个年代它终始名列人们认知的素数之首,多年来谁也未能打破这种局面.   近几年来,随着数字的增大,每一个“最大素数”的产生都艰辛无比.但也都存在着激烈的竞争.例如,在1979年2月23日,当美国数学家史洛温斯基宣布找到了素数223209-1时,人们告诉他:在两星期前著名的诺尔先生就已经给出了同样的结果.为此史氏潜心发愤,终于在1979年和1983年用计算机找到了两个更大的素数,从而成为第27和第28个麦森质数.在1983年快要结束的时候,史氏又给出一个更大的质数:2^132049-1,它有39751位.两年之后,即1985年末,美国休斯敦的切夫隆地球科学公司的一台4亿/秒的大型电子计算机克雷X—MP试运算时,发现了第30个麦森质数:2^216091-1(它有65050位)共花了3小时机上时间,进行大约1.5万亿次运算.1992年3月25日,英国路透社发表消息:英国哈维尔实验所的科学家发现了一个更大的麦森质数:2^756839-1(它有227832位)这成为人们找到的第31个麦森质数.1994年1月,美国克莱公司宣布找到了一个更大的素数,即p=859433时,2p-1型素数(它有227832位).它也是人们发现的第32个麦森质数.1996年9月4日,美国威斯康星州的克莱研究所的科学家们宣布,他们又找到一个新的更大的麦森质数:当p=1257787时,2p-1是素数(它有378632位),这是人们发现的第33个麦森质数.从前面的例子我们已经清楚的看到:质数是一个古老的数学概念,但至今有关质数的某些重要性质,人们也还没有认识.比如,在用In(n≥2)表示n个1组成的n位数111……1的全体中,有无质数?这样的最大质数是多少?对前一个问号回答是肯定的,例如11就是一个.后一个问号是人们正在探索的一个课题.

  当前已知的形如In的最大质数是I3179这是美国Monitoba大学的Williams发现的,它是在质数I23发现之后五十年才找到的,这一发现曾轰动一时.有人曾预测,在I1到I1000中,除了上述诸质数外,不会有别的形如In的质数了.下一个可能的质数是I1031,以上两点已于1986年由Williams证得.寻找形如In的质数(下一个要在I10000以上去寻找),在国外已成为检验计算机功能的一道算题,它引起不少人的兴趣和研究另外,Williams是通过求I317-1的因子去证明I317是质数的,道理是:当I317-1的每个因子的发现均给I317的可能的因子以很大约束.若I317是质数,则I317-1的足够多的因子被求出时,就留不下I317的可能因子了.而伊里诺斯州立大学的S.Wagstaff发现了I317-1有合成因子1079+1的(加州大学的D.H.Lehmen稍后也找到了同样的因子).形如In的质数实在有一种自身的美感(整齐、单一),而下面形状的质数(它由123456789形状的数构成)也同样给人一种美的享受:23456789,1234567891,1234567891234567891234567891,

  古人曾以文字做游戏,回文诗便是其中一种,这种诗正念反读,均成篇章.如《晚秋即景》七绝:

         正念                    反读

       烟霞映水碧迢迢              萧萧冷树古城边

       暮色秋声一雁遥              晚照残辉落岑前

       前岑落辉残照晚              遥雁一声秋色暮

       边城古树冷萧萧              迢迢碧水映霞烟

  有趣的是在数学中也有“回文质数”的研究,所谓回文质数就是指某数为质数,而该数的各数码倒过来写也是质数,例如13倒过来写是31,而13和31都是质数,这便是一对国文质数.人们还找到17和71、113和311、347和743、769和967等回文质数,可见,究竟有多少个这样的质数,至今仍是未揭开的谜.如果回文质数中无相同的数字,则称它为无重回文质数,像13和31、347和743等都是,但113和311不是无重回文质数.此外人们还构造n×n数阵,使其行、列和主对角线上数字组成的数均为回文质数(它共有4(n+1)个).用无重回文质数不能构造这种数阵,因为质数仅以1、3、7或9结尾,若数阵阶数超过4无疑定要重复.

  人们不仅喜欢研究质数,同时也对“质数对”、“质数串”……的性质甚感兴趣.比如“孪生质数”问题、算术质数列问题等等.我们知道数3、5;5、7;11、13;……都是质数,且它们彼此相差2,这样的一对质数称为“孪生质数”.1912年德国数学家朗道猜测(但至今仍未获证):存在无穷多对质数,它们的差为2.比如除上面三对孪生质数外,再如17、19;29、31;41、43;59、61;71、73;101、103;以及3389、3391;4967、4969;10016957、10016959;999999999959、999999999961;1000000009649、1000000009651.七十年代初威廉斯和查恩斯发现了当时最大的孪生质数:76×3169-1、76×3169+1.到1979年人们又找到更大的一对孪生质数:297×2546-1、297×2546+1.据统计资料表明,孪生质数数目不少于下表所列数字:与“孪生质数”问题有关联的问题是:在等差数列中寻找质数问题.

  算术数列又称等差数列,这是一个从第二项起每项和它前面一项的差均为常数(称为公差)的数列.算术数列有许多性质,然而其中的所谓算术数列就鲜为人知了.所谓算术素数列是指各项均为素(质)数的算术数列.1837年狄里赫莱(Dirichlet,1805~1859)就已证明:首项为a,公差为d的算术数列中,若(a,d)=1即 a、d互质,则这个算术数列中有无穷多个质数.1944年,人们又证明了:存在无穷多组由三个质数(不一定相继)组成的算术素数列.但是,要寻找全部由质数组成的算术数列,却远非那么容易.可以证明:由几个素数组成的算术数列,其公差必须能被小于n或等于n的全部素数整除.这样,数列的首项和公差必须很大.七十年代,人们找到了项数是10的算术素数列,它的首项是199,公差为210.它们是199、409、619、829、1039、1249、1459、1669、1879、2089.1977年有人找到一个有17项的算术素数列.1978年美国的Pritchard利用电子计算机花了近一个月的时间(每天工作10小时)找到一个有18项的算术素数列:它的首项是107928278317;它的末项是276618587107;公差是9922782870.Pritchard期望找到更多的这样长的(指项数)算术素数列,他也希望找到更长的这样的数列.1984年,Pritchard这位康奈尔大学的教授,真的找到了项数是19的算术素数列,它的首项为:8297644387,公差是4180566390.质数在分布上有何性质?“数论”中已对此问题作过深入的介绍,它无限多,且分布越来越疏.此外,还有否别的性质?好,我们来看看,质数分布的所谓“乌兰现象”.美国数学家乌兰在一次不感兴趣的科学报告会上,为了消磨时间便在一张纸上把1、2、3、…、99、100按反时针方向排成螺旋状,当他把图表上的全部质数都画出来时,惊奇地发现:这些质数都排在一条条直线上.大于100的整数是否也有这种现象?散会之后,他用计算机把1~65000的全部整数按反时针螺旋式的排布打印在纸上,当他把其中的质数标出的时候,上述现象仍然存在.这便是有名的乌兰现象.数学家们还从乌兰现象中发现了质数许多有趣的性质.合数可唯一分解成质因数的乘积,那么合数用质数的和表示,会有什么结论呢?这便是“数论”中的堆叠质数问题.

   比如“哥德巴赫猜想”等问题即属此类.这类问题貌似简单,因而不少人曾跃跃欲试(当然从这一点本身,也说明问题的奇妙与魅力),当然其涉及的内容似乎远大于人们的想象.1742年德国人哥德巴赫写信给住在俄国波得堡的数学家欧拉,问道:是否每个不小于6的偶数均可表为两个奇素数之和?任何不小于9的奇数均可表为三个奇素数之和?尔后,欧拉在复信中写道:任何大于6的偶数都是两个奇素数之和,虽然我不能证明它,但我确信这个结论是完全正确的.这便是所谓“哥德巴赫猜想”.它虽貌似简单,但整个十九世纪猜想的研究没有任何进展.尽管有人做了许多具体验证工作(到目前为止已算到3.3×107以内的偶数均无例外).1912年德国数学家朗道在一次国际数学大会报告说:即使要证明任何大于4的正整数,都能表示成k个素数之和,也是现代数学力所不能及的.但1930年,前苏联的施德列布曼证明了:每一个充分大的自然数均可以表示成不超过k个素数之和,这里k是个常数.后来有人给出k的估计.猜想还从另外一个方向进行研究,1920年挪威数学家布尤证明:每一个充分大的偶数都可表示为两个各不超过九个素数的乘积和.这个结果简单记为“9+9”(这儿9表示素数乘积个数,9+9即表示两个分别由不超过9个素数乘积的数之和),直到目前最好的成果是我国数学家陈景润于1966年得到的(发表于1973年)“1+2”,堆叠数论的另外一些问题,如自然数表为某些自然数方幂和问题(华林问题),也是有趣的,这一点前文已有介绍.这许多是基于数本身的性质.勾股数即满足a^2+b^2=c^2的整数a、b、c,它有无穷多组:对于任何整数m、n,a=m^2-n^2,b=2mn, c=m^2+n^2均给出勾股数组.(法国数学家费尔马猜测:每个形如4k+1的质数均可唯一地表示为两个自然数的平方和.一百年后,它为欧拉所证明.)

  请你注意下面的有趣现象:

  1+2=3,

  3^2+4^2=5^2,(《周髀算经》中“勾三股四弦五”)

  3^3+4^3+5^3=6^3,(两世纪前欧拉的发现)

  30^4+120^4+272^4+315^4=353^4,(半个世纪前,Dickson给出)

  27^5+84^5+110^5+133^5=144^5,(吴子乾于1970年找到)

  76^6+234^6+402^6+474^6+702^6+894^6+1077^6=1141^6,(1966年Seltridge给出)

  12^7+35^7+53^7+58^7+64^7+83^7+85^7+90^7=102^7,(1966年Seltridge给出)     2^8+3^8+5^8+6^8+8^8+9^8+10^8+14^8+15^8+21^8+26^8+36^8+47^8+65^8+93^8+137^8+227^8+379^8+958^8+960^8+961^8+…+1066^8+1067^8=1827^8,(1972年吴子乾给出)

  6^9+9^9+15^9+33^9+36^9+42^9+54^9+63^9+72^9+108^9+135^9+174^9+237^9+405^9+615^9+918^9+159^9+3069^9+3362^9 +6336^9+6339^9++7086^9+7089^9+7092^9+13448^9+20172^9+26896^9+36982^9+30258^9+40344^9+43706^9+50430^9+168100^9+ 221892^9+339562^9+500938^9+759812^9+1398592^9+2582016^9+7779668^9+8441982^9+8435344^9=9339639^9,其中6939至7092为公差是3的等差数列中连续52项.(1976年吴子乾发现)

  上面列举的仅是一些数现象中的某些特例,其一般情形若何?人们尚不得知.然而仅就这些,就足以说明数本身内涵无穷的奥秘,人们认识的仅仅是其中的些微.

  关于这方面的例子还有,我们来看:

  下面的两组数字现象让你看后会为其中的奥妙赞叹不已!

  注意以下的两组和相等的六位数:

  123789+561945+642864=242868+323787+761943,

  它们同时又满足:

  1237892+5619452+6428642=2428682+3237872+7619432,

  接下去抹掉两组数中每个数的首位数,结果仍有下面的等式:

  23789+61945+42864=42868+23787+61943,

  237892+619452+428642=428682+237872+619432.

  重复上面的作法我们依然会有:

  789+945+864=868+787+943,

  7892+9452+8642=8682+7872+9432;

  89+45+64=68+87+43,

  892+452+642=682+872+432;

  9+5+4=8+7+3,

  92+52+42=82+72+32.

  更使人惊奇的是:若将上面每次抹去的数字改为末位数字,这种结论依然成立:

  12378+56194+69286=24286+32378+76194,

  123782+561942+642862=242862+323782+761942;

  ………………………………

  1+5+6=2+3+7,

  12+52+62=22+32+72.

  再请看{1,6,7,23,24,30,38,47,54,55}和(2,3,10,19,27,33,34,50,51,56}两组数字中,它们的1次方、2次方、……、8次方幂和都相等:

  1+6+…+54+55=2+3+…+51+56=285,

  12+62+…+542+552=22+32+…+512+562=11685,

  13+63+…+543+553=23+33+…+513+563=536085,

 


  数的奇妙性质一直在为人们所探讨、所发现,那些以发现者命名的数,更是千奇百怪、五花八门.这足以说明人们对其的喜爱.

  下面我们再介绍一种新近发现、鲜为人知的数——史密斯数.说起它的发现,也是一个偶然的机会.美国数学家阿·威兰斯基在与其姐夫打电话时,后者(他姓史密斯)发现他的电话号码4937775是一个怪数,首先它是一个合数:4937775=3×5×5×65837,有趣的是这个数所有位数字和等于它的全部因子的数字之和:4+9+3+7+7+7+5=3+5+5+6+5+8+3+7.数学家潜心于此类数的研究,发现还有不少自然数有此性质,于是便将这类数命名为史密斯数.最小的史密斯数是4,接下来的几个史密斯数是22、27、……经计算后人们发现:0~104之间共有376个史密斯数;0~105之间共约有3300个史密斯数.圣路易斯的密苏里大学的韦恩·麦克丹尼尔证明:史密斯数有无穷多个.新近有人给出能产生史密斯数的公式(当然它不能产生全部史密斯数).有人还利用大质数,给出一个250万位以上的史密斯数.史密斯数还有哪些性质?它又有何用途?人们正在研究中.

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