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最大公约数与最小公倍数的奥数训练

(2019-03-19 08:22:05)
分类: 试题精选

          最大公约数与最小公倍数的奥数训练

如果一个自然数a能被自然数b整除,那么称ab的倍数,ba的约数。

如果一个自然数同时是若干个自然数的约数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数,称为这若干个自然数的最大公约数。自然数a1a2,…,an的最大公约数通常用符号(a1a2,…,an)表示,例如,(812=4,(6915=3

如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数,称为这若干个自然数的最小公倍数。自然数a1a2,…,an的最小公倍数通常用符号[a1a2,…,an]表示,例如[812]=24[6915]=90

常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

160元钱可以买一级茶叶144克,或买二级茶叶180克,或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋,要求每袋的价格都相等,那么每袋的价格最低是多少元钱?

分析与解:因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元,分装后每袋的价格相等,所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶,分装的袋数应相同,即分装的袋数应是144180240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低,所以分装的袋数应尽量多,应是144180240的最大公约数。

所以(144180240=2×2×3=12,即每60元的茶叶分装成12袋,每袋的价格最低是60÷12=5(元)。

为节约篇幅,除必要时外,在求最大公约数和最小公倍数时,将不再写出短除式。

2 用自然数a去除498450414,得到相同的余数,a最大是多少?

分析与解:因为498450414除以a所得的余数相同,所以它们两两之差的公约数应能被a整除。

498-450=48450-414=36498-414=84

所求数是(483684=12

3 现有三个自然数,它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中,最大的可以是多少?

分析与解:只知道三个自然数的和,不知道三个自然数具体是几,似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111,它们的公约数一定是1111的约数。因为1111=101×11,它的约数只能是1111011111,由于三个自然数的和是1111,所以三个自然数都小于11111111不可能是三个自然数的公约数,而101是可能的,比如取三个数为101101909。所以所求数是101

4 在一个30×24的方格纸上画一条对角线(见下页上图),这条对角线除两个端点外,共经过多少个格点(横线与竖线的交叉点)?

分析与解:(3024=6,说明如果将方格纸横、竖都分成6份,即分成6×6个相同的矩形,那么每个矩形是由(30÷6)×(24÷6=5×4(个)

小方格组成。在6×6的简化图中,对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线,所以经过5个格点(见左下图)。在对角线所经过的每一个矩形的5×4个小方格中,对角线不经过任何格点(见右下图)。

所以,对角线共经过格点(3024-1=5(个)。

5 甲、乙、丙三人绕操场竞走,他们走一圈分别需要1分、115秒和130秒。三人同时从起点出发,最少需多长时间才能再次在起点相会?

分析与解:甲、乙、丙走一圈分别需60秒、75秒和90秒,因为要在起点相会,即三人都要走整圈数,所以需要的时间应是607590的公倍数。所求时间为[607590]=900(秒)=15(分)。

6 爷爷对小明说:“我现在的年龄是你的7倍,过几年是你的6倍,再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗?

分析与解:爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化,但他们的年龄差是保持不变的。爷爷的年龄现在是小明的7倍,说明他们的年龄差是6的倍数;同理,他们的年龄差也是54321的倍数。由此推知,他们的年龄差是65432的公倍数。

[65432]=60

爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。考虑到年龄的实际情况,爷爷与小明的年龄差应是60岁。所以现在

小明的年龄=60÷(7-1=10(岁),

爷爷的年龄=10×7=70(岁)

练习12

1.有三根钢管,分别长200厘米、240厘米、360厘米。现要把这三根钢管截成尽可能长而且相等的小段,一共能截成多少段?

2.两个小于150的数的积是2028,它们的最大公约数是13,求这两个数。

3.19这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数,求这些数的最大公约数?

4.大雪后的一天,亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。亮亮每步长54厘米,爸爸每步长72厘米,由于两个人的脚印有重合,所以雪地上只留下60个脚印。问:这个花圃的周长是多少米?

5.有一堆桔子,按每4个一堆分少1个,按每5个一堆分也少1个,按每6个一堆分还是少1个。这堆桔子至少有多少个?

 

6.某公共汽车站有三条线路的公共汽车。第一条线路每隔5分钟发车一次,第二、三条线路每隔6分钟和8分钟发车一次。9点时三条线路同时发车,下一次同时发车是什么时间?

7.四个连续奇数的最小公倍数是6435,求这四个数。

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