加载中…
个人资料
用户6024494513
用户6024494513
  • 博客等级:
  • 博客积分:0
  • 博客访问:317,314
  • 关注人气:95
  • 获赠金笔:0支
  • 赠出金笔:0支
  • 荣誉徽章:
正文 字体大小:

对地球大小、月球太阳大小和距离的简单计算 之一

(2017-12-12 17:21:41)
标签:

科技

历史

摘要:模拟古人通过原始天文观测和初等数学,计算地球、月球和太阳的大小和距离。

计算一:根据天圆地方的地平说,天高4607千米,地阔9213千米,太阳月亮直径42千米。

计算二:根据地圆说,较准确计算地球周长为40020千米。

计算三:根据地日月关系,确定地日月大小关系:太阳大于地球的一半,月球在地球的一半和1/4之间。

计算四:根据月食,计算月球直径和距离,误差较大。

计算五:根据推理修正算法,较准确计算月球直径和距离。

计算六:根据弦月时的日月夹角,计算太阳大小和距离。

计算七:根据地日月公式,重新计算太阳月球数据。

结论:根据计算,月亮大致为地球的1/4,太阳远大于地球,最终推导出日心说。

计算八:另一个算法,结合日食,得到地日月的尺寸公式,较准确计算太阳月亮大小和距离。

 

天地是怎么回事,这是人类身为智慧生物最本能的疑问之一。接下来的问题,天有多高,地有多大。宇宙的基本模样,是我们现代人的常识;天地有多大,试着算一算。

如果我们是古人,仅仅通过最原始的天文观测手段,以及最初等的数学知识,能否计算得到地球大小、月球和太阳的大小和距离呢。答案当然是可以,古希腊人2000多年前已经做到了。试着按自己的思路来一遍,顺便弄出个地日月尺寸公式。

 

(一)      计算天高地阔:天高4607千米,地阔9213千米,太阳月亮直径42千米

计算地球大小,前提当然要了解大地是球体这一基本概念。如果我们对宇宙的认识,还停留在天圆地方的层次,那么对宇宙的计算,就是计算天有多高、地有多阔。
对地球大小、月球太阳大小和距离的简单计算 <wbr>之一

注:这个计算图严格按照太原洛阳两地的北极星和太阳的角度比例绘制。

 

1基本思路

天高地阔的计算思路,如上图所示。根据天圆地方的宇宙模型,大地是一个平面,日月星辰在同一个半球形的天穹之上,由此,在同一时间,地面上(南北方向)不同观测点,太阳和北极星在天上与地面的夹角不同。通过两个观测点太阳和北极星的视角,以及两地距离,即可计算得到天高地阔的结果。

 

2计算和结果

第一步,北极星的计算:太原洛阳两地相距667华里(333.5千米),北极星与地面夹角太原为38°,洛阳为35°。通过简单三角运算可知,北极星距地面高2250千米,北极星在大地的投影距太原2880千米。

第二步,太阳的计算:春分正午太阳与地面夹角太原为52°,洛阳为55°,则春分正午太阳距地面高4113千米,太阳在大地的投影距洛阳2880千米(与前面计算的北极星投影与太原的距离相同)

第三步,天圆地方的计算:由于日月星辰是在同一个半球形的天穹之上,由前两个计算的结果,通过三角运算可知,天高4607千米,地阔9213千米。

第四步,用后面说的古希腊人的方法,太阳月亮直径为天高的1/110,约42千米。

 

3说明

上述计算,以两个观测点对北极星和春分正午太阳的观测数据为例。实际上,以任何两个天体、相同时刻运行到正南或正北方向的观测角度,都可以进行这个计算。

 

4拓展

根据这个计算结果,最远只要跋涉不到一万里,就能走到天边。如果古人做过这个计算,一定会感觉有问题,也许会让他们对天圆地方的宇宙模型进行一些思考。不过没这么简单,关于观测精度以及带来的问题等,在后文讨论。

 

(二)      计算地球大小:地球周长40020千米,误差0.03%

掌握了地圆说的宇宙模型后,地球大小的计算,变得非常简单,甚至不需要三角函数,两地距离除以北极星角度差,就是地球周长。
对地球大小、月球太阳大小和距离的简单计算 <wbr>之一

1计算思路

如上图所示,根据大地是球体的理论,日月星辰在遥远天际围绕地球旋转(相对而言),通过地面上(南北方向)不同观测点的间距,以及北极星在天上与地面的不同夹角,可计算得到地球的大小。

简单几何计算可知,北极星与地平面的夹角等于观测地的纬度。通过后文讨论的日月距离的计算,古人可以得知地球大小远远小于与北极星的距离,所以北极星角度与北极星同地球的距离几近无关,至少远超出古人原始条件所能达到的测量精度。

 

2计算和结果

太原洛阳两地相距667华里,北极星夹角相差,因此地球周长为667华里的120(360°除以3°) ,为80040华里、40020千米。地球直径为12739千米,半径为6369千米。

 

3说明

相比这个北极星计算方法,古希腊人通过测量太阳在天上的角度计算地球周长,方法有异,基本思想相通。北极星方法有不限季节和时辰等好处,日晷方法测量太阳角度更容易精确。

再次强调球体地球计算的相对简单,仅仅一个乘法即得到地球周长,完全不需三角计算,极致优美。

40020千米的计算结果,与地球实际周长40008千米(子午线)相差很小。当然,这是凑出来的数字,本文中所有的所谓观测数据都是凑的。后文的后续计算,月球和太阳的大小、距离等,都基于地球大小的数值,为减小计算差异,不得不把数字凑得很准,不好意思。古人技术原始,对两观测地直线距离、太阳或北极星夹角等的测量,与实际数值的误差肯定很大,计算结果不可能这么准。

 

4拓展

天圆地方和球体地球两套计算的关键不同,在于不同的宇宙模型对天体角度差异的不同解释。天圆地方的计算,通过计算北极星和太阳的高度和距离,得到天高地阔数据;地球球体宇宙模型的计算中,北极星或太阳只是计算地球数据的客体,本身并不是计算对象。

 

(三)      分析地球、太阳、月球的大小和距离:太阳比月球远,比月球大,大小至少是地球的二分之一,月球大小在地球的1/41/2之间

具体计算月球和太阳的大小和距离之前,先分析地日月之间的大小关系,并为下一步的计算准备计算公式。

 

1基本思路

关于地日月的大小关系,大自然给了我们虽有些隐蔽、信息量其实非常丰富的提示。通过日食和月食这两个很特殊的天文现象,仅仅粗略的定性分析,我们即可得出地球、月球、太阳之间大致的尺寸关系。

第一,日食。太阳和月亮的视觉大小几乎一样,典型例子是日全食,因此它们的大小与同地球的距离成正比。同时,日食告诉我们太阳在月球的后面,比月亮远且比月亮大。

第二,月食。月食发生时,遮住月球光亮的那个阴影,即地球在月球轨道上的投影,大约是月球的三倍。这是地球在天地间仅有的靓影一现,唯一的量化信息,重要性经得住任何夸大。

1日月看上去一样大,2日食时太阳在月亮外面,3月食时地球阴影是月亮的3。综合分析这3个条件,经过简单几何运算,即可得到地日月大小的关系公式,并分析出日月尺寸的上下限。

 

2计算和结果

(1)    粗略分析:

如果太阳比地球小,则地球在月球轨道上的投影比地球大。月球大致是地球投影的1/3,则月球至少是地球的1/3。太阳比月球大,所以太阳至少是地球的1/3

而月球的上限,不能大于地球,否则太阳就比地球大,地球阴影比地球小,月球是地球阴影1/3的现象就不能解释。

 

(2)    几何计算:分析太阳和地球的大小关系的三种情形。

情形一、太阳没有地球大:
对地球大小、月球太阳大小和距离的简单计算 <wbr>之一

 

上图所示的大小关系,太阳和月亮都比地球小,是古人最容易接受的地日月系统。这种情形下,太阳最小不能小于地球的一半,月亮范围在地球的1/31/2

 

情形二、太阳和地球一样大:
对地球大小、月球太阳大小和距离的简单计算 <wbr>之一

 

如果太阳和地球大小差不多,则如上图所示,太阳和地球都是月亮的3倍大。

请注意这个太阳和地球同样大小的临界点,这时太阳与地球的距离,是月亮与地球距离的3倍。一旦过了这个临界点,如果地日距离大于地月距离的3倍,太阳就大于地球,宇宙的一切就是另一幅模样。

 

情形三、太阳比地球大:
对地球大小、月球太阳大小和距离的简单计算 <wbr>之一

 

如果太阳大于地球,则月球小于地球的1/3,地月距离小于地日距离的1/3。反之亦然,地月距离相对地日距

离越小,太阳比地球越大。

后文说的古人通过上弦月时的地日月夹角,得到地日和地月距离的比例,这里提前议论一下。对古人来说,太阳比地球大虽然无法想象,但根据地球、太阳、月亮相互距离的数学关系,地日距离只要是地月距离的3倍以上,太阳就比地球大;而那个角度告诉我们,太阳的距离远得多,因而也比地球大得多;只要具备一定的初等数学和逻辑分析能力,这应是显而易见的结论。

 

综合以上,太阳大于地球的一半,月球是地球的1/41/2。太阳越大,月亮越小。

 

(3)    地日月尺寸公式

已知:太阳月亮看上去一样大,月食时地球阴影大致是月球的3倍。

(太阳半径 地球半径)/(地球半径 – 3月球半径)= 地日距离 / 地月距离 = 太阳半径 / 月球半径(其中,3月球半径即地球阴影半径),得:
对地球大小、月球太阳大小和距离的简单计算 <wbr>之一

 

注:这是一个普遍公式,与太阳地球谁大谁小、谁绕谁旋转,都没有关系。

由太阳 > 月亮,得太阳 > 地球/2,地球/2 > 月亮 > 地球/4

 

3问题和说明

上面的计算中,太阳月亮大小比等于地日地月距离比,没有考虑地球半径,相当于只计算早晨和晚上的情形。早午晚的太阳月亮看上去一样大,说明太阳月亮离地球的距离,相对地球半径相当大。

计算的另一个前提,假设地日轨道和月球轨道都是正圆,来自我们目测日月的大小和速度都很稳定。真实的天文数据,地日轨道和月球轨道,以及地球、太阳、月亮本身,都很接近正圆。

以上计算虽然推导不出太阳比地球大的结论,但大致分析的结果,相信已经足够惊骇古人:太阳至少有地球的一半大,直径大于6370千米,月亮最小是地球的1/4,直径在31806370千米之间。相应的,地日和地月距离最短为70万和35万千米,具体计算方法见后文。

 

4拓展

以上地日月尺寸公式,以前好像没有见过。自己读书太少,见过反而奇怪了。这个公式的地日月大小关系的结论,太阳大于地球一半,月球是一半到1/4,应该是很有说服力的。

 

(四)      计算月球大小和距离:直径4813千米,误差38.55%,距离地球529483千米,误差37.74%

月球大小和距离的计算,本是一件难以完成的任务,上天给了我们最大的恩赐:月食。亚里士多德通过月食时地球投影是圆的,定性证明大地是球体,我们当然可以再进一步,定量计算地球与月球的大小比例。只要认识到月食是地球投影造成的,剩下的事情就是简单测量和计算了。但由于通过月食测量是间接方法,具体的步骤及带来的问题,比前两个天圆地方和地球周长的计算要复杂一些。

 

1基本思路

月球大小的简单目测:比较月食时地球阴影弧度与月球大小的关系,可大致得知地球和月球的尺寸比例,根据地球数据计算月球大小。

月球大小的精确计算:古人没有照相机,目测弧度无法精确,自己想来更好的方法,测量月全食全程各个阶段的经历时间,对比地球阴影与月球的大小,可以比较精确地计算地球和月球的大小比例。

得到月球尺寸后,通过月球大小和距离的视觉比例关系,可计算得到月亮与地球的距离。

 

2计算和结果

简单目测方法一,通过对特定食相的观测,粗略估计月食时地球投影与月球大小的比例,大致为3:1,即月亮直径是地球的三分之一,4246千米。

这里卖个关子,地球明明是月亮的4倍,怎么会3:1,看错了吧。嘿嘿,我根本就没看月亮,3倍是算出来的,后面具体说。而这个非常粗略的3倍数字,前面讨论过,已经足以确定地日月尺寸的大致关系了。

简单目测方法二,如下图,对地月大小比例的计算,比方法一纯粹目测略微精确些:地球投影弧度的a段,长度约为月球半径b1/5,根据三角函数计算,月球直径是地球直径的37.77%,约4900千米。
对地球大小、月球太阳大小和距离的简单计算 <wbr>之一

 

精确计时方法:我们为古人设计一个完整的、理想的月全食。
对地球大小、月球太阳大小和距离的简单计算 <wbr>之一

 

上图示意的月全食各阶段中,从1初亏到2食既,或从3生光到4复圆,是月球被地球阴影覆盖的过程;而从1初亏到3生光,或从2食既到4复圆,是月球经过整个地球投影的过程。测量计算这两个过程经历时间的比例,即可较精确地得到月球与地球投影的大小比例。

模拟观测数据为,从1初亏到2食既历时3680秒,从1初亏到3生光历时9740秒,月球直径是地球直径的37.79%4813千米。

 

3地月距离的计算和结果

得到月球尺寸后计算地月距离,自己想的办法,测量每天早晨月亮浮出地平面经历时间,结合月球速度(29.53天绕地球28.53),通过三角运算计算地月距离。

古希腊人的方法要简单、实用、可行地多,一个拇指遮住月球,确定月球大小和距离的视觉比例大致为110:1,即地月距离是月球直径的110倍,同时也确定了地日距离和太阳直径的比例。这个方法相当准确,同真实比例110.64的误差仅0.58%。用这个方法计算,地月距离为529483千米。

多说一句,自己的方法更适合精确测量和计算,比如下面要说的,从1初亏到2食既经历时间的计算(不是观测记录,而是计算),以及后面确定太阳和月亮的视觉比等。但对古人来说,精确测量时间,实在不是件容易事,后面讨论。

 

4问题和说明

上述计算最主要的问题是,地球阴影大小不是地球,而且相差相当大。这个问题在下一节讨论。不过,这个误差比较大的方法,至少能得到相对模糊的定量结果;即使得不到地球与月球的真实比例,能得到地球投影的大小,已经走出了一大步。最重要的是,我们对月球尺寸有了基本的认识,大致与地球是同一个数量级。

 

问题二,这种理想的月全食,即月球轨道经过地球投影的圆心,发生概率应该是很低的,一般的月全食是下图表现的情形:
对地球大小、月球太阳大小和距离的简单计算 <wbr>之一

 

这样的普通但不理想的月全食,不影响前述简单目测方法,但通过月全食各个阶段经历时间来计算月球与地球阴影的大小比例,应该不再可行。不同程度的月全食及月偏食,从1初亏到4复圆,各阶段经历时间的出入非常大,很难准确观测和计算。

解决这个问题,古人也许只能不断地观测记录,找到最理想的月全食数据作为计算依据。逻辑上,所谓的理想月食,相当于日全食,概率应该也差不多,并不是特别少。

看资料,古希腊人也是通过计量月全食各阶段时间来计算月球大小的,计算结果的较大误差,只因为倒霉没有逮到理想的月食。

 

第三个问题是地月距离、地日距离的不恒定,自己感觉,其最显著表现,是既有日全食,又有日环食。不过相对而言,地球围绕太阳轨道和月球围绕地球轨道,椭圆离心率都相当小(月球围绕地球旋转的近地点比远地点远11.73%),我们观测太阳和月亮,一年之中并没有明显的大小差异。由此,通过月食地球阴影计算月球大小,误差是比较小的。

 

最后一个问题,通过观测月食计算月球大小和地月距离,最大难点应是月食现象的太过稀缺。但古人已经早早掌握月食日食的规律,古巴比伦人在2000多年前就总结出沙罗周期,每经过18118小时,几乎肯定将重复之前发生过的日食或月食。虽然古人的数据不一定如此精确,这一点上,我们真的不用太为古人操心。

月食确实非常少,天地只给了我们这一种办法。

 

5月食经历时间的计算

这一部分是多说的,不影响月球计算的结果。

上述关于月食经历时间的模拟观测数据,从1初亏到2食既历时3680秒,完全可以不通过直接观测,而经过月亮和太阳的其他数据,间接计算得到。古人实际的观测度量,可以作为一个验算手段,最终证明关于日食和月食原理解释的正确。

以地球为参照系的地日月系统,太阳和月亮围绕地球旋转,太阳的旋转速度略微快于月亮,那么,日食的原理是太阳追上月亮时被月亮遮挡,月食的原理是太阳照在地球的投影追上月亮时遮挡了月亮。
对地球大小、月球太阳大小和距离的简单计算 <wbr>之一

 

逻辑上,日食和月食的从1初亏到2食既,都是太阳(或太阳阴影)在月球轨道上追上月球,经历时间应当完全相同。距离=速度×时间,距离=月亮在天上的视角,可通过每天晚上月亮落山经历时间和月球速度得到;速度=太阳、月亮的速度差;已知距离和速度,时间即可计算。月落时间模拟为129秒,太阳1天绕地球1圈,月亮29.53天绕28.53圈。

理想的月全食不多,不易确定,3680秒这个数值可以通过日全食观测得到验证。然后翻回头,那些从1初亏到2食既经历3680秒左右的月食,才能确定为理想月食。

 

(五)      修正月球大小和距离:直径3493千米,误差0.55%,距离地球384279千米,误差-0.03%

上一节的计算结果,与实际数字的误差超过30%。凑出来的数字,都差这么多,计算思路存在的重大缺陷在于,地球在月球上(准确说应该是在月球轨道上)投影的大小,与地球本身的大小,并不是一回事。

 

0这不是巧合

拍脑袋想,按我们今天已经知道的常识,地日距离远大于地月距离(实际为490),地球在月球轨道上的投影,相比地球本身,好像小不了多少。事实不是这样,因为太阳比地球大了太多(109)。简单比例关系计算可得知,地球投影直径比地球小3544千米,相对地球直径12742千米,比例相当大,完全不能忽略。
对地球大小、月球太阳大小和距离的简单计算 <wbr>之一

 

这里有一个有趣的巧合,上面计算结果3544千米,很接近月球直径3474千米。这不是巧合,更准确地说,这是在地球上看月球和太阳几乎一样大的巧合的延续。简单几何计算可得知,当地日距离远大于地月距离,同时地月距离远大于地球半径时,地球投影比地球小接近一个月球。

另外,由前述地日月尺寸公式得:地球直径/月球直径 = 地球投影和月球的大小比例+1-地球直径/太阳直径。当太阳远大于地球,地球直径/太阳直径可忽略不计时(实际地球不到太阳的1%),地球直径地球投影+月球直径,这是地球比月食阴影多一个月亮的数学证明。

 

1基本思路
对地球大小、月球太阳大小和距离的简单计算 <wbr>之一

地球比地球在月球轨道上的投影大多少,这个本无聊的纯粹计算,结果却很有趣:多了一个月球。加上一个月球后,地球投影的大小,就是从1初亏到4复圆的月食全程。古人能否也受到这个巧合的启发,将地月比例进行相应的调整。

 

2计算和结果

修正后的计算:根据上一节的精确计时方法,地球投影和月球的大小比例为2.65,加上一个月球后,地球和月球的比例为3.65,得月球直径3493千米,地月距离384279千米。这两个计算结果与实际数值的误差为0.55%-0.03%,数字凑得有点狠。

 

3问题和说明

这个月球大小修正算法的最大问题是,古人怎么会知道太阳比地球大。这个对今人先天正确的前提,和我们的直觉完全相反,对古人不可行。如果太阳比地球小,则地球在月球轨道上的投影比地球大,加一个月亮的修正算法即完成不成立。以日心说为依据,计算出日心说的结果,这个逻辑太不通了。

这里,古希腊人有一个非常重要的认识:太阳距离地球比月球远得相当多(下一节说,他们还得到了具体的比例值)。由前述的地日月大小关系,月球至少是地球1/4,加上日月距离和大小成正比,得到太阳比地球大的推论,好像挺自然。

而当古人估摸出地球在月球轨道的投影,竟然小于地球本身,人类历史上最伟大的文明飞跃,已经隐隐向他们召唤了。真实的历史是,早在公元前3世纪,古希腊天文学家即判断出太阳比地球大,进而提出历史上第一个日心说主张。

 

0

阅读 收藏 喜欢 打印举报/Report
  

新浪BLOG意见反馈留言板 欢迎批评指正

新浪简介 | About Sina | 广告服务 | 联系我们 | 招聘信息 | 网站律师 | SINA English | 产品答疑

新浪公司 版权所有