假期数学建模学习（一）之预备知识一：消除量纲（标准化）的意义_用户5980660673

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假期数学建模学习（一）之预备知识一：消除量纲（标准化）的意义

(2016-08-06 15:39:59)

消除量纲最常用的方法是，减去期望除以标准差。但是其数学意义和现实意义是什么？为什么说这样能够消除量纲？

1. 数学意义

任何一个数组，减去其期望之后再除以他的标准差，得到的新的数组的期望都是0，标准差都是1.

2. 现实意义

首先看两组数组y1=[0,2,4,5,7,8,9,2,5,12];y2=[1,3,5,14,9,10,8,0,-1,9];

the expectation of y1 is 5.4 ,the standard deviation of y1 is 10.972693379476162;

the expectation of y2 is 5.8 ,the standard deviation of y2 is 14.886235252742717;

显然，与y2相比，y1的平均值和波动程度都较小。将其标准化后，y1与y2的平均值和波动程度都会是一样的。而这样做的意义是什么？

首先说，为什么要减去平均值。不同的自变量其单位不同，其数值大体所在的量级也很可能不同。比如，若是研究身高和每天碳水化合物摄入量对于体重的影响，身高的单位是cm，一般人的身高都在150-190之间；而碳水化合物的摄入量的单位是g，一般人都在0-20g之间。若是直接将原始数据用作对体重的拟合或者预测，容易强化一方的作用而弱化另一方的作用！因此，需要减去平均值，将大家的平均量级都变为0.

其次说，为什么要除以标准差。举例：y1=[1,-1,1,-1,1,-1];y2=[2,-2,2,-2,2,-2];

他们的平均值都是0，但是标准差不同。显然y2的方差要比y1大。但是对于整个数组本身，其实2与1相对于平均值得变异程度都是一样的（y2整个数组的波动就比较大）。除以标准差之后，2与1的相对于平均值的距离将会相同。

如图：

http://s16/bmiddle/006wKf2Vzy73Q22vc99cf&690

显然，经过标准化之后，两条线已经变成了一条线（中间绿色线）。

如果没有除以标准差，其对于因变量的贡献率很可能要受到波动的影响而引起偏差。

也就是说，标准化就是将数组的平均值归零，并在方差为1的基础上，显示其相对于数据内部的波动的大小。

最后附上y1=[0,2,4,5,7,8,9,2,5,12];y2=[1,3,5,14,9,10,8,0,-1,9];的图

http://s6/bmiddle/006wKf2Vzy73Q2lubrf65&690
可以感受到，两条线在标准化之后，其总体变化趋势仍不变，两条线的相对位置也不变，但是变化的程度小了。

http://www/uc/myshow/blog/misc/gif/E___7478ZH00SIGG.gif

附：平均值与标准差的matlab代码

function [t,y]=SDE(x) % x is a matrix
[w,q]=size(x);
n=w*q;% the number of x
t=0; % the expectation of x
y=0;% the standardDeviation of x
for i=1:n
t=t+x(i);
end
t=t/n;
y=sqrt(sum(sum((x-t).^2)));
end

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