在欧式几何中有公理三角形的任意两边之和始终大于第三边，那么在四边形中有没有类似结论呢？四边形（无论凸凹）的四条边长度之和始终大于两条对角线的长度之和吗？这个结论是显而易见的：取四边形中最长的那条对角线，两次运用上述三角形公理，得到四条边长度之和大于最长对角线长度的两倍，当然大于两条对角线的长度之和。对此命题进一步严格条件：四边形的最长三边之和一定大于两对角线长度之和吗？该命题也是网站“Using your Head is Permitted”中2015年2月的谜题：

Prove or disprove: In any quadrilateral ABCD, it is always true that the sum of the lengths of the quadrilateral's three longest edges is longer than the sum of the lengths of its two diagonals.

如果结论正确，命题提出者认为是三角形不等式公理的扩展。所幸这个结论被证实是正确的。

以下证明过程来自Max67的博客，据称原证明是由 Daniel Bitin 给出的。注意此结论也适用于空间四边形，但是以下证明针对的是平面的情况（后有补充证明空间的情况）。（其实空间四边形不好定义对角线，所有6条连线构成一个四面体。）

首先，让我们先来证明一个引理：若 △ABC 中， ∠C ≥ 90° ，则 AB + CH > AC + BC ，其中 CH 是 AB 边上的高。不妨先来考虑 ∠C = 90° 的情况。

http://s14/bmiddle/005Zt8VCzy6SsYgeGglad&690

由勾股定理可知：

AB2 = AC2 + BC2

另外，由于这个三角形的面积有两种不同的计算方法，于是我们有：

AB · CH = AC · BC

前一个式子加上后一个式子的两倍，于是得到：

AB2 + 2 · AB · CH =AC2 + 2 · AC · BC + BC2

所以说

AB2 + 2 · AB · CH + CH2 > AC2 + 2 · AC · BC + BC2

即

(AB + CH)2 > (AC + BC)2

因此

AB + CH > AC + BC

如果 ∠C > 90° 呢？我们可以在 AB 边上找一个点 B′ ，使得 ∠ACB′ = 90° 。

http://s1/bmiddle/005Zt8VCzy6SsYiBa3C80&690

我们已经证明了

AB′ + CH > AC + B′C

而由于三角形两边之和大于第三边，我们有

BB′ + B′C > BC

两个不等式相加，于是得到

AB′ + CH + BB′ + B′C > AC + B′C + BC

即

AB + CH > AC + BC

引理也就证到了。

接下来就让我们来证明，在四边形 ABCD 中，三条最长边之和始终大于两条对角线的长度之和。

http://s15/bmiddle/005Zt8VCzy6SsZ2Gb8O7e&690

 

作平行四边形 ABDE 和 BCFD 。由于四边形 ABDE 是平行四边形，因而 AE 和 BD 是平行且相等的；由于四边形 BCFD 是平行四边形，因而 BD 和 CF 也是平行且相等的。因此， AE 和 CF 也就是平行且相等的了。这说明，四边形 ACFE 也是一个平行四边形。

注意，在平行四边形 ACFE 中， D 点到各个顶点的距离正好分别等于四边形 ABCD 的四边之长，并且 AE 和 CF 的长度都等于 BD ， EF 的长度则等于 AC 。为了证明本文最开头的结论，我们只需要说明，在 DA 、 DC 、 DF 和 DE 中，其中三条边的长度之和大于平行四边形 ACFE 的两条邻边之和。由于这个平行四边形的两组对角分别相等，因而其中一组对角必然都是大于等于 90° 的，比如例图中的 ∠AEF 和 ∠ACF 。连接 AF 后，这个四边形就会被分割成两个直角三角形或者两个钝角三角形。在这两个三角形中，找出那个不含 D 点的三角形（如果 D 点在 AF 上，则随便选取一个三角形），比如例图中的 △ACF ，并作出该三角形 AF 边上的高 CH 。根据引理可得：

AF + CH > AC + FC

由于 △ADF 中两边之和大于第三边，因此 AD + DF > AF ；由于 H 点已经是线段 AF 上距离 C 点最近的点了，而 D 点还在线段 AF 的另一侧，因此 CD > CH 。所以，我们有

AD + DF + CD > AF + CH > AC + FC

即原四边形 ABCD 中，其中三条边的长度之和大于两条对角线的长度之和。

补充证明（空间四边形）: 

如果ABCD是空间四边形，不妨设D点在平面ABC外，过D作平面ABC的垂线，垂足为D′，显然 CD>CD′，ED>ED′。如果D′在△AEF内，继续证明AD + FD + CD′ > AC + FC; 如果D′在△ACF内，继续证明AD + FD + ED′ > AE + FE；如果D′在AF上，前两证明任取其一。于是： AD + FD + CD > AC + FC 或 AD + FD + ED > AE + FE。