物理定律来源于人们对简单性与和谐性的追求，而物理定律的应用却是对复杂性的追求。正像下围棋那样，只有黑白两色棋子和少数几条规则，却可以弈出千变万化的对局。大多数物理学家认为物理定律日臻完善，而人类却已进入复杂性研究的黄金时代。然而，反潮流的拓扑斯理论却出现在这样的时代，它的与观察者有关的逻辑，即“为工作着的宇宙学家而存在的逻辑”，引起了对现有时空观的深刻质疑。

   量子论和相对论分别走对了一步

   　　由于牛顿的引力论和力学，促使拉普拉斯提出下述观点：“一种智慧存在，在任一给定时刻如能知道所有的自然力和构成宇宙的所有物质的瞬间位置，而且能分析所有的有关数据，则能用公式描述世上最大物体和最微小原子的运动。对其而言，没有东西是不可确定的，历史和未来在其眼前展现。”
   　　但是，在拉普拉斯时代仍然存在着许多令人不解的问题：为什么宇宙是由原子组成的？宇宙来自何方？宇宙为什么有这样的质量和形态？原子间作用力的本质是什么？为什么时空被简单地认为是存在的，而不是物理的？
   　　直到19世纪下半叶，当电磁理论补充了牛顿的工作后，情况才发生变化。人们开始设想所有自然力只是引力或电磁力的一些具体表现。1900年，物理学家开尔文勋爵在一次演讲中说：“物理学中已没有新的待发现的东西了，剩下的只是越来越精确的测量。”然而不久，19世纪物理学的结构就被彻底改变了。由于放射性和电子的发现、普朗克量子假说的成功，以及爱因斯坦相对论的出现，牛顿的运动定律和他关于时空的常识性假设被抛弃了，甚至德谟克里特的原子假说也被更精确而复杂的微观世界图景所替代。原子不再被看成是不可分的、具有某个确定的位置和动量的粒子，而被描述成由满足相对论的量子力学的粒子（轻子和夸克）所构成。
   　　到了20世纪，人们相信只存在强力、弱力、电磁力和引力这四种相互作用，描述这些力的数学理论也戴上了“规范”的桂冠。规范理论的结构来自于描述某种力的自然定律在对称性上保持不变的特性，而对称性是由该力所支配的粒子性质所产生的。
   　　20世纪物理学的主要成就来自于相对论和量子理论。这两种理论都极为有用，能解释许多事情，但每一种都不完备。量子理论解释了为何原子不会顷刻瓦解，解释了观测到的物质和辐射的许多性质。在分子以及更小的尺度上，它的效应与牛顿理论的预言有着根本的差别。广义相对论是关于空间、时间和宇宙学的理论，它的预言与牛顿预言的主要不同点在于，在极大尺度上，证实广义相对论的绝大多数观测都来自天文学。然而，当面对原子以及更小尺度时，广义相对论看来是失败的。同样，量子理论似乎与构成广义相对论基础的时空描述相矛盾。因此，人们不能将这两种理论简单地并在一起构造一种单一的理论，用以展示从原子到太阳系甚至整个宇宙的全部世界。
   　　问题的关键在于：量子论在根本改变牛顿物理关于观测者与被观测者之间关系的假设时，顺从地接受了牛顿的背景时空观；在广义相对论中，时空的观念彻底变更了，但是牛顿关于观测者与被观测者之间关系的观点却保留了下来。
   　　看来，量子论与广义相对论各自保留了另一种理论与之冲突的、来自牛顿物理的旧假设。因此，相对于旧的牛顿物理体系，相对论和量子论只是各自向前走对了一步。“革命尚未成功，同志仍需努力。”
   　　要完成对牛顿物理的彻底革命，必须追求一种新理论，以新的方式，将爱因斯坦引入的时空新观念与量子论关于观测者与被观测者之间关系的新观念融合起来。如果这种融合是不可能的，则必须将这两种理论都摈弃，另寻新的途径。走进21世纪，在基础研究上已没有别的问题比这个问题更富于挑战性了。

   与观察者有关的逻辑学

   　　何谓宇宙？简而言之，其外一无所有之谓也。许多宇宙学家将这一论断称为宇宙学第一原理。由此出发，可以推断：许多问题是无法回答的。例如，无法回答宇宙中有多少掌握语言的生灵，因为没有一位处于宇宙中的观察者可以看见宇宙中的一切。虽然尚不知宇宙的确切年龄，人们已公认自大爆炸始宇宙已历经约140亿年，地球上的人确实不能收到来自距离地球超过140亿光年的任何生灵的光线。
   　　若有人宣称宇宙中的生灵比地球上的人类多43倍，谁也无法证明其是对是错。然而，10亿年后的观察者将能看到宇宙的更多部分，他们能看到的宇宙是150亿光年，而不是现在看到的140亿光年。他们能看见更多的掌握语言的生灵。可供他们判断正误的陈述清单，将比可供现在判断的清单长。
   　　许多宇宙学家认为：宇宙的尺度至少有1000亿光年。因此，可以考虑一个观察者，也生活在大爆炸后的140亿年，但在距离地球500亿光年处。这个观察者看到的宇宙同地球上观察者看到的宇宙没有重叠，可供他作出正误判断的陈述清单也同地球上观察者的完全不同。这样，如果有一个适用于宇宙学的逻辑的话，它必须建立在命题真伪取决于观察者的基础之上。与所有观察者可决定所有陈述真伪的经典逻辑不同，这个逻辑必须是与观察者有关的。
   　　在物理研究的历史进程中，当物理学家对数学有某种新需求时，他们常常发现数学家早已发现了它。当爱因斯坦创建广义相对论，需要一种描述光线弯曲的数学工具时，黎曼早已建立了一种适当的几何；当量子论巨擘狄拉克需要一种描述点粒子的δ函数时，泛函分析学家已有了后来被称作分布的理论。
   　　现在，当宇宙学家需改变自从亚里士多德时代以来人类就习惯使用的非真即伪的逻辑学时，数学家也已准备了一种新的逻辑学。这是一种“为工作着的宇宙学家而存在的逻辑”。这种逻辑学承认：探究世界是由世界之中的观察者进行的，他们只能通过环顾四周，从所能观测到的范围，获得这个世界的有限的或部分的信息。他们对观察结果的陈述，不仅有“正确”或“错误”之分，也可贴上 “现在无法分辨是否正确，但未来或许能够知道”之类的标签。这个宇宙学家的逻辑学在本质上是与观察者有关的，因为它承认世界上的每个观察者只能看见这个世界的不同部分。
   　　数学家们完全独立于宇宙学研究来探讨这种逻辑学，并在不同的研究阶段赋予它不同的名称。在第一种版本中，它被称为“直观逻辑”，而在最近的更加复杂的版本中则被总括为“拓扑斯（topos）理论”。 简单地说，拓扑斯是一种特殊的范畴理论。作为一种数学表达形式，拓扑斯理论并不简单，它可能是最难学习的知识之一；作为一门数学分支，它已有了较为广泛的研究领域，它的要旨在于描述世界的真实情形，不仅仅针对宇宙学家，还针对世界上的任何事情。
   　　在真实世界中，人们几乎总是在探究不完整的信息。人们常常会遇到真伪性无法据人们之所知来判断的陈述。在现实生活中，不同的观察者接触不同的信息，对未来所作陈述的真伪，可能受到人们对欲为之事所作选择的影响。这对整个议题有着非常深刻的涵义：为了判断人们决定的合理性，毋庸求助通晓万物的观察者，只要求不同观察者如实汇报所见就足够了。若这个法则得到遵守，当人们各自有足够的信息决定某事的正确与否时，总会做出相同的决定。拓扑斯理论试图给出关于这些法则的数学。
   　　这样，一些哲学家试图把伦理和科学归结为一个通晓万物的先知的最终判断就错了。只须坚信观察者应该如实地交流观察所见，人们就可以理性地生活，而不必相信通晓万物的精灵的存在。尽管总存在着人们无法回答的问题，却并不一定妨碍人们就如何了解这个拥有共同点的世界，达成某些方面的一致。

   量子理论中的认识问题

   　　量子理论中认识论问题的核心是物理量值和测量结果两者之间的关系。更确切地说，核心是命题“量A有一个值，且该值是r（其中r是实数）”与命题“假如A的测量被建立，结果将是r”之间的关系。
   　　回想一下经典物理的情形，上述关系是不成问题的。在经典物理中，人们假定在任一时刻每个物理量A将一个实数作为它的值，并且人们能够“理想化地”测量物理量A，即A能得到一个值是在测量之前便确定的。这种方式有时称作为“认识论作本体论的模型（epistemology models ontology）”。用数学语言说，量A是态空间Γ的实值函数。对于任何属于Γ的态，任一个量A均可被指派一个“定值”。于是，在某个确定时刻，系统的每一个命题均可确定其真伪。
   　　在量子论中，上述值与测量结果的关系是有问题的。这时，态空间是希尔伯特空间H ，物理量A需用自伴算子?魦来表示。在1967年，科切恩（S. Kochen）和斯佩克（E. Specker）证明了一条著名的no-go定理，这条定理指出，如果希尔伯特空间的维数大于2，就无法指望所有的量子理论算子能指派一个实数作为它们的值。用数学语言讲就是，希尔伯特空间的所有谱集组成一个非布尔型与非分布的格，对诸如“?魦属于Δ”这类命题作出真伪判断并不是一定可行的了。
   　　伯克霍夫（G. Birkhoff）和冯·诺伊曼 (J. Von Neumann）早年曾对这类“量子逻辑”问题作过广泛研究。新近，利用拓扑斯作为工具的研究，在某种意义上来讲，是一种反潮流的革命。拓扑斯虽然是非布尔型的，甚至排中律这个形式逻辑的基本规律也不一定成立，但它并不是非分布型的。
   　　在量子引力情形下，认识论问题变得更加尖锐。许多学者认为，经典广义相对论的时空观念，诸如拓扑空间、连续流形、时空几何和微观因果性等都不能应用到量子引力。英国学者艾沙姆(C. J. Isham）指出：“人们应当怀疑量子理论应用到引力的可能性问题，尽管流行的量子引力研究或多或少采用了标准的量子理论研究方式，但存在着某种先验论的危险性。时空的经典想法是不假思索地运用到量子理论中去的，这会导致范畴类型上的差错。当人们试图应用量子理论到量子引力中去时，这些概念是不适合的。”

   没有点的时空

   　　在传统的物理理论公式中，人们普遍采用实数。这是出于何种缘由呢？表面上看，可能存在三条理由：实数是物理量的值；时空是连续的；概率的值是实数。其实，这些似乎显而易见的理由并不成立。
   　　传统的物理大厦依赖于物理量的值的计算，而这些计算已得到高度发展（如泛函分析和微分几何等数学分支）。但是，传统物理理论的成功只不过证明了连续的“仪器效应”罢了。可用一个例子来说明。长度是一个物理量，如果先验地认为它是连续量的话，那么其他的物理量就可以用实数模型化了。因为对一个物理量的测量，总能约化到在空间中某种类型的仪器指针的值。于是，问题就转到为什么要对时空采用实数模型？或者说，是否有一种公认的理由可以将“仪器效应”分离掉？答案是否定的，并不存在一种先验的理由说明空间是连续的。将时空非连续的可能性反映到物理理论中去，是拓扑斯理论的关键之处。
   　　至于概率为什么应该是实数的问题更值得探讨。概率由测量序列的结果的相对频率（为有理数）决定，实数是相对频率的无限序列的极限引起的。许多学者指出，概率为实数是一种生理学事实的理想化，是一种理性的规范。有时，人们可以认为某种倾向会比另一种倾向大，但是在很多情形下“倾向性”是不可比拟的，后者将导致概率函数的值域是偏序集。
   　　连续时空观的基础是“点”的概念，在拓扑斯理论中，则以场所（locale）来取代点的概念。为此，可以先将点的概念让位于区域（region）的概念。塔斯基（Alfred Tarski）早年曾做过“保守”线路的工作，他首先提出区域概念作为第一性，点概念作为第二性的方案。塔斯基先列出了区域的公理，再由区域构造点，并使这些点具有3维欧几里得空间的一些熟知性质。例如，可以把点构造成区域序列的形式，每个区域含在前一个区域之中，并且它们的“宽度”趋于零。但是，利用区域取代点并不一定要采用这种“保守”的线路。非“保守”的线路是用公理定义区域，并彻底替代点的概念。事实上，任何拓扑空间均能构造一个场所，后者是一个推广的布尔代数，它们不必具有排中律，由此提供直觉逻辑的一个自然代数结构。由场所定义的区域理论不是“保守的”——它推广了拓扑空间的概念，允许区域簇不组成点。
   　　拓扑斯理论是范畴的一种特别类型。范畴由对象(object）及射(arrow）组成。一个明显的例子是群范畴，其中对象是群，射f：G1→G2是从G1 到G2 的群同态。在任何拓扑斯理论中，存在着一个推广的子集簇概念，即给定对象的子对象簇概念，子对象簇是一个场所。从而可以用拓扑斯理论来替代诸如连续流形作为描述时空的数学。

   一切只是过程

   　　云岗和龙门的石窟之所以价值连城，在于它们似乎凝固了历史，为人们提供了时间停滞的错觉。但是时间并不会真的停顿。一尊雕像看起来每天一样，其实每天都会有点不同。雕像并不是一个永不变化的物体，它是一种过程，一种变化缓慢的过程。在世界上存在的并不是物体和过程这两样东西，而只是相对快和相对慢的过程。
   　　设想人们想要描述一个特定的粒子，比如说电子。在牛顿模式的描述中，人们可以描述在一个特定的瞬间它是什么：它位于空间的何处，它的质量和电荷是多少，等等。这称为是描述粒子的“状态”。在这种描述中是没有时间的。在牛顿世界中，时间是一个可选的部分。一旦人们已经充分地描述某些东西是怎样的，那么人们就“打开”时间开关并且描述它如何变化。为了验证一种理论，人们进行一系列的测量。每一次的测量应该揭示凝固在某一瞬间的粒子状态。一系列测量就如同一系列的相片——凝固的瞬间。
   　　牛顿物理中状态的概念和雕像、相片一样，均有凝固瞬间的错觉。这导致世界是由物体组成的假象。假如这确实是这个世界的运行方式，那么对某事的首要描述将是它的“如何”，而它的变化将是次要的。变化只不过是某事如何的一种变更。但是，相对论和量子理论都表明：这个世界是一个过程史，运动和变化是首要的。除非是在一个非常近似和暂时的意义上，没有东西是“是”。某事是怎样的，或者它的状态是什么，是一种“停滞”的假象。对于某些目的，它可能是有用的。在新物理学中，“过程”比“停滞”更重要更优先，这就要采用新的语汇。事实上，已有一种合适的简洁的语言可用，这就是拓扑斯的语言。
   　　从这个新的观点来看，宇宙由大量事件组成，一个基本事件可被看成是过程的最小部分，是变化的最小单位。但是，不要认为事件是发生在另外的静态物体上的变化。它只是一个变化，如此而已。
   　　事件的宇宙是一个关联的宇宙，它的所有特征都可根据事件之间的关系来描述。两个事件之间可具有的最重要的关系就是因果关系。这与人们听故事时关注的因果关系是相同的。若一个事件A是另一事件B的产生所必需的，则A是B的部分起因。若A没有发生，B就不可能发生。对此可说，事件A是对事件B有贡献的原因。一个事件可能有超过一个有贡献的原因，一个事件也可能对超过一个的未来事件有贡献。
   　　任何两个事件A和B，只有三种可能性：A是B的起因，或B是A的起因，或没有一个是另外一个的起因。第一种情形，A是B的因果过去；第二种情形，B是A的因果过去；第三种情形，两者都不是彼此的因果过去。这样一个宇宙从开始起就有时间的介入。时间和变化是不可以选择的，因为宇宙是一个故事，并且它是由过程组成的。在这样一个世界中，时间和因果关系是同义的。除了引发一个事件的一系列事件之外，它的过去没有别的意义；除了一个事件将影响的一系列事件之外，它的将来也没有别的意义。

   因果宇宙像台计算机

   　　人们可以从信息传递的角度去考虑因果宇宙，每一事件就像一个晶体管，接受来自过去的信息，做简单的运算，将结果输往未来。于是，一个计算就是一种故事，信息首先输入，然后从晶体管向晶体管传递并且偶然被传递到输出端。计算机电路中的信息流动组成了一个故事，在其中事件是计算，因果过程恰好是信息从一个计算到下一个计算的流动。这导致一个很有用的隐喻——宇宙作为一种计算机。但是这种计算机的电路是不固定的，而是作为信息流经的结果，可随时间演化。
   　　人类观测到的宇宙是这样的一个因果宇宙吗？广义相对论告诉人们，它是这样的。广义相对论给出的宇宙描述刚好是因果宇宙的描述，因为相对论的基本课程是：没有东西能够超光速传播。特别地，任何因果效应和信息不能超光速传播。牢记这一点，并考虑宇宙历史中的两个事件。第一个事件是秦始皇修建长城，发生在公元前221年的中国。第二个事件是盎格鲁-撒克逊民族的形成，这是发生在公元后5世纪的大不列颠岛。第一事件因果上影响第二事件吗？人们可能会争论马上民族的政治和文化影响，但重要的仅仅是匈奴人的迁徙当然对欧洲的民族融合有影响。于是，中国人修长城与英国民族形成之间，必定有一种信息传递。
   　　还可以问，在电话中交谈时，在从A到B的信号通路中包含了多少事件？或者提一个更复杂的问题：在某个特定时刻的过去，在宇宙的整个历史中发生了多少事件？假如知道这些问题的答案，并也知道在宇宙历史中事件之间因果关系的结构，那么就会知道关于宇宙历史所有要知道的东西。
   　　对于在一个特定过程中有多少事件的问题，可以给出两种答案。一种答案是假设时间和空间是连续的，时间可以被任意精细地划分，而且不存在可能的最小时间单位。牛顿物理假定时间和空间是连续的。但是世界并非一定如此。另一种可能性是时间是以离散的片段而来的，是可数的。
   　　对于通过电话线传播1比特信息需要多少事件这个问题，其答案将是一个确定的数目。它可能是一个非常大的数字，但仍将是一个有限的数字。但是，假如时空由事件组成，并且事件是可数的离散存在物，那么空间和时间本身就是不连续的。假如这是正确的，人们就不能将时间不确定地划分。最终，人们将会到达基本事件，它不能被进一步划分，因此是可能发生的最简单的事件。正如物质是由可数的原子组成的，宇宙的历史是由大量的基本事件构成的。

 　　已有的量子引力知识指出：时间和空间外观上的平滑性可能是假象；隐含其后的是，世界由一系列可数的分立事件组成。对于这个结论，不同的角度提供了不同的证据，但它们都表明：如果能足够精细地观察世界，时间和空间的连续性确实会消除，就如同材料的平滑性让位于分子和原子的分立世界一样。
   　　在世界的分离结构中，时间和距离的尺度应当是普朗克尺度。它是根据在这个尺度上引力效应和量子现象同样重要而定义的。对于较大的物体，人们可以高兴地忽略量子理论和相对论。但要描述普朗克尺度上的宇宙时，则需要引力的量子理论，别无他法。
   　　普朗克尺度可以根据已知的基本原理来建立，通过把出现在基本定律中的常数（量子理论中的普朗克常数、狭义相对论中的光速、牛顿引力定律中的引力常数）适当地结合在一起而计算得到。普朗克长度为10-33厘米，比原子核的尺度小20个量级。普朗克时间是度量基本事件的时间，为10-43秒。
   　　由普朗克尺度来看，人的身高是个巨大的数字，有1035个普朗克长度；而人们日常经历的事都是令人难以置信的缓慢，最快的也要超过1040个普朗克时间。眨一下眼所需的基本瞬间数目比珠穆朗玛峰中的原子数目还要大。两个粒子之间最快碰撞所填充的基本瞬间数比现在活着的所有人大脑中的神经元细胞数还要大。可见，以普朗克尺度来观察，人们日常所见的每一件事都变得令人难以置信地复杂。
   　　在拓扑斯理论看来，世界不能被理解为生活在一个固定的、静态的时间和空间背景下的独立实体的集合。作为替代物，它是一个关系的网络，其中每一部分的性质是由它同其他部分的关系决定的。构成世界的关系是因果关系，也就是说，世界是由发生事情的过程所组成的。粒子不是仅仅停在那里的静态物体，而是在它们相互作用的事件之间携带少量信息，并引发新过程的过程。这更像是一个基本的计算机操作，而不是传统的永恒原子的图像。
   　　这就是没有点的时空观，基于拓扑斯理论的新时空观。把拓扑斯理论应用于物理研究的先驱是女数学家恰亚拉(Marisa Dalla Chiara)与数学物理学家马科波洛-卡拉尔马拉(Fotini Markopoulou –Kalalmara)。在国际上，拓扑斯理论已成为一个非常红火的研究领域。这个研究领域的发展过程表明，不同背景、受不同教育熏陶的人走到一起，合力推进研究前沿之际，也就是科学高速向前发展之时。
   　　理论物理学家和数学物理学家之间的关系并不总是这么融洽的。他们的关系跟最先探索到荒野的拓荒者和紧随其后把土地围起来、进行耕种的农民之间的关系很相似。“数学农民”需要把事情全都定下来，然后再来慢慢确定某一思想或者某一结果的精确边界。“物理学拓荒者”则喜欢带有自然野性的东西。理论物理学家和数学物理学家都倾向于认为自己的那部分工作是实质性的。事实上，尽管数学家和物理学家工作和思考的方式不同，但是他们学着相互交流，相互协作对于科学研究来说是不可缺少的。就像在广义相对论中所发生的那样，量子引力需要新的观念和新的计算方法，同样它也需要像拓扑斯这样的新数学。
   　　拓扑斯理论，或宇宙学的逻辑，也是了解人类世界的正确逻辑。它必定也是经济学、社会学和政治学的正确基础。宇宙理论和社会理论都能以一个简单事实作为自己的基础，这个事实就是所有观察者都包括在被其观察研究的系统的内部。
   　　一些乐观的学者认为，在不久的将来，新的物理学即将替代相对论和量子论。有人说，在本世纪的下半叶，基于拓扑斯理论的量子引力理论会写进中学教科书中。生活在新时代的孩子一定很幸福，他们会念到逻辑上更简单的教科书。科学不是朝着逻辑上更简单的方向前进，又会怎样呢？
   [1] Smolin L. Three Roads to Quantum Gravity. London： Weidenfeld &
   Nicolson，2000 
   [2] Isham C J, Butterfield J. A Topos Perspective on the Kochen-Specker 
   Theorem: I, Quantum States as Generalized Valuations. Int J Theor Phys, 1998，37(11)：2669
   [3] Butterfield J, Isham C J. A Topos Perspective on the Kochen-Specker 
   Theorem:II,Conceptual Aspects and Classical Analogues. Int J Theor Phys,1999,38(4)：827

 在新世纪开始，全世界科学家对这个新时代的来临，有着无比的兴奋，期待着人类有史以来最新的发现。数学是所有推理学问的基础，我希望在这个演讲里能够指出今后数学发展的一些线索。

　　由希腊数学家发展欧氏几何的公理系统开始，人类对严谨的三段论证方法才有实体的认识，影响所及，凡是需要推理的学问都与数学有关，推理的学问可分物理科学、工程科学和社会科学。

　　数学和工程科学乃是社会科学的基础，理论物理乃是工程科学的基础，数学乃是理论物理的基础。

　　人类科技愈进步愈能发现新现象，种种繁复现象使人极度迷惘（例如：湍流问题、黑洞问题）。但是主宰所有现象变化的只是几个小数的基本定律。标准模型统一了三个基本场：电磁场、弱力、强力，但是重力场和这三个场还未统一。

　　重力场由广义相对论描述，是狭义相对论和牛顿力学的统一理论而形成的，这是爱因斯坦最富有想象力的伟大创作。爱因斯坦方程是
　　　　　　　　Rij－(R/2)gij＝Tij
其中gij是测度张量（引力场）；Tij是物质张量；Rij是里奇曲率张量。

　　弦理论企图统一重力场和其他所有场。在21世纪，基本数学会遇到同样的挑战：基本数学的大统一，只有在各门分支大统一时，所有分支才会放出灿烂的火花，每一门学问才会得到本质上的了解。

　　数学的大统一将会比物理的大统一来得基本，也将由统一场论孕育而出。近代弦论的发展已经成功地将微分几何、代数几何、群表示理论、数论、拓扑学相当重要的部分统一起来。数学已经由此得到丰富的果实。大自然提供了极为重要的数学模型，以上很多模型都是从物理直觉或从实验观察出来的，但是数学家却可以用自己的想象，在观察的基础上创造新的结构。

　　成功的新的数学结构往往是几代数学家共同努力得出的成果，也往往是数学中几个不同分支合并出来的火花。

　　几何和数字（尤其是整数）可说是数学里最直观的对象，因此在大统一中起着最要紧的作用。20世纪的数论学家通过代数几何的方法已经将整数方程的一部分与几何结合，群表示理论亦逐渐与数论和几何学结合。每次进步都有结构性的变化，例如算术几何的产生。

　　在这20年间，拓扑学和几何已经融合。三维空间和四维空间的研究非懂几何不可。瑟斯顿（Thurston）的猜测，是在三维空间上引用几何结构，这些创作新结构的理论有划时代的重要性，正等如19世纪引用黎曼曲面的概念一样重要。

　　分析和几何亦逐渐融合，到目前为止，微分方程在复几何和拓扑学上有杰出的贡献。通过分析方法，陈氏类、霍奇理论、阿蒂亚一辛格指标定理和我们在复流形上构造的凯勒-爱因斯坦度量，在代数几何中解决了重要的问题。最近哈密顿（Hamilton）的里奇流（Ricci flow）可能解决瑟斯顿的猜想。

　　在四维空间上，唐纳森（Donaldson）利用陶布斯（Taubes）、乌伦贝克（Uhlenbeck）的规范场上的存在性定理得到四维拓扑的突破。上述工作和唐纳森-乌伦贝克-丘在杨-米尔斯的工作都与弦理论息息相关。事实上弦理论提供了极为重要的讯息，使得古典的代数几何得到新的突破。我们期望弦理论、代数几何、几何分析将会对四维拓扑有更深入的了解。

　　在 21世纪的数学里，三维的双曲空间会变得如黎曼曲面一样重要，数学会进人一个尽情享受低维空间特殊性质的局面，在代数几何上，二维、三维和四维流形将会有更彻底的理解。我们希望霍奇猜测会得到圆满的解决，从而得知一个拓扑子流形什么时候可以由代数子流形来表示。同样的问题也适用于向量丛上。由弦理论得到的启示，有些特殊的子流形或可代替代数流形。

　　现在举一个理论物理、数学和应用科学上的共同而重要的问题：基本物理上的分级（hierarchy）问题，是一个能标（scale）的问题。引力场和其他力场的能标相差极远，如何统一，如何解释？在古典物理、微分方程、微分几何和各类分析中亦有不同能标如何融合的问题。在统计物理和高能物理中，用到所谓重正化群（renormalization group）的方法，是非稳定系统的一个重要工具。

　　如何用基本的方法去处理不同能标是应用数学中一个重要问题。纯数学将会是处理不同度量的主要工具。而事实上，纯数学本身亦有不同度量的问题。

　　在微分方程或微分几何遇到奇异点或在研究渐近分析时，炸开（blowing up）分析是一个很重要的工具，而这种炸开的工具亦是代数几何中最有效的工具。

　　在非线性微分方程中，我们需要更进一步地做定性和定量的分析来研究由炸开得出来的结果，因此对不同能标的量得到进一步的认识。

　　微分几何的张量分析（曲率张量）在多重尺度（multiscale）分析中应该会有重要的应用，因为即使在同一点上，有不同方向的变化，而此种变化亦应当受到能标的影响。

　　当一个图（graph）逼近一个几何图形或微分方程的解时，多重尺度分析极为重要，如何解决这些问题无论在纯数学和应用数学都是重要的问题，我希望研究离散数学的学者亦注意到这一点。

　　近代弦论发现有不同的量子场论可以互相同构（isomorphic）然而能标刚好相反
　　　　　　　　（R←→l/R）

　　因此一个强耦合常数（coupling constant）的理论可以同另一个弱耦合常数的理论同构，而后者可以从渐近分析理论来计算。

　　由于R←→l/R这种奇妙的对称可以保持量子场论的结构，使得我们可以用扰动性（perturbation analysis）的方法去计算非扰动的场论，在数学上得到惊人的结果。

　　更要注意到的一点是时空的结构可能因此有基本上的观念的改变能标。极小的空间不再有意义。时空的量子化描述需要更进一步的探讨。物理学家和几何学家都希望能够找寻一个几何结构来描述这个量子化的空间。有不少学者建议用矩阵模式来解释这种现象，虽然未能达到目标但已得到美妙的数学现象。

　　约在200年前，高斯发现高斯曲率的观念而理解到内蕴几何时，就感叹空间的观念与时而变，和人类对大自然的了解有密切的关系。

　　这20年来，超对称的观念深深地影响着基本物理和数学的发展，在实验上虽然尚未发现超对称，但在数学上却起着凝聚各门分支的能力，我们宁可相信在极高的能量时，超对称确实存在，但如何看待超对称在现实时空中的残余，应当会是现代应用物理和应用数学的一个重要命题。

　　举例来说，在超对称的结构中，规范场和电磁场会与完全不相关的子流形理论同构，是否意味着这种日常能见的场论可以用不同的手法来处理？
种种不同的现象显示，弦论、几何、群表示理论逐渐会与算术几何接近。在所谓阿拉克洛夫（Arakelov）理论中，除了在复数上定义的代数空间外，还需要考虑特征为p的代数空间，才能够对算术空间有完满的了解，是否表示它们能够帮助我们了解现实世界的问题？由镜对称的观点来看，数论上的L函数和伯奇-斯温纳顿-戴尔猜测有没有其他解释？

　　数学中有所谓的对偶（duality）的现象，比如有如下关系：

　　　　　　迹公式→自守形式（automorphic form）→群表示理论，数论

　　这个环面（torus）的对偶正是弦理论对偶的基础，现代数论的一个最重要的环节叫朗兰兹理论，也有对偶的问题，与代数几何和表示理论有密切的关系。希望能够与这一系列的想法也挂钩。

　　另一个重要的概念是对称（symmetry）。群的观念在自然界中普遍存在，小群（如镜对称，雪花的对称）、连续群（又称李群，物理上用途）、非紧离散群（在数论和几何上的用途）以及无限维对称（规范场中的规范群）。种种不同对称的观念在20世纪后半期的理论科学有基本贡献。

　　对偶比对称更广义，不同理论的基本同构将是21世纪的一个重要命题。

　　对称的观念可说是基本科学中最基本的工具，但是“运用之妙，存乎一心”，在于作者的经验和直觉。

　　21世纪基本科学的基本命题：如何将对称的物理基本现象与非对称的世界联合？对称破缺（symmetry breakins），众生色相，何由而生？

　　基本的物理定律是时间对称（time symmetric）的，为何我们担忧时光消逝？因为直观世界是时间对称的。由时间对称的定律来解释直观世界是现代数学和物理的一个重要问题。

　　热力学第二基本定律说，随机性（randomness）随时间而增，熵随时间而增。

　　这是一个奇妙的定理，到如今还未得到彻底了解。

　　时间的箭头在广义相对论中是一个重要的题目。彭罗斯（R．Penrose）和霍金（S．Hawking）都花了很多时间讨论。这是因为爱因斯坦方程对时间来说是对称的，然而在现实世界，时间是不对称的。

　　熵的研究在现代物理和现代数学都起了极重要的作用。湍流的问题，将是其中一个例子。

　　流体力学中的奇异点和边界层（boundary layer）都需要大量的理论投入，需不需要引力场方程来帮忙解释？在某种意义下，基本的方程式或基本的物理现象用数学形式表达出来时，是用等式来表达。但往往在彻底研究这种等式以前，不等式会产生，同时起着无比的重要性。

　　波浪的重叠，最后产生的可以是极为光滑的波。如何控制这种现象要依靠好的不等式。也是一切分析和应用数学的精华。

　　叠加性质（superposition）是线性方程的特征，在研究非线性可积方程时，也有非线性的叠加。一般而言，有没有办法由少数的解来产生新的解是一个重要的问题。非线性现象是21世纪的研究对象。

　　由稳态（stationary）的物理现象到动态（dynamical）的物理现象，会遇到极为困扰而又刺激的数学问题。在方程的观点来说，椭圆方程过渡到抛物型，到双曲型到混合型的方程组，有极度困难的奇异点处理问题，在物理上有震波的处理问题，既要研究估值，又要研究物理意义，又希望大型计算机能够帮忙。

　　高维空间的非线性波和各种物理几何的关系将会影响这几十年的应用数学，其中有孤立子的现象，有震波现象，多种粒子在非线性的互动时得出的宏观现象，方程带有随机变量时的处理将会是应用数学的重要题目。

　　很多古典的方法或近代物理的方法应当可以应用到离散问题上去。大型的网络极为复杂，如何有效地传播讯息，如何寻找资料，提供了数学极有意义的问题。

　　图像处理和计算几何更是一个计算机、几何、组合数学结合的好地方，在医学上有重要的贡献，自动控制论和上述种种应用都会结合，要得到最有效的用途需要数学家密切合作。

　　当微分方程、几何和组合数学真正大统一时，应用数学会有大进步。

　　有宏大胸襟的数学家会在前进途径上创造新的结构来因应这个统一的使命，来了解不同的数学分支。

　　单靠程序和计算的数学即使有短暂的生长力量，不会有深远的影响。

　　如何解释由计算得出来的现象，如何与物理和工程的现象相吻合，如何利用计算结果作有意义的预测，乃是计算数学的目标。因此理想的应用数学家，应该有数学家的根基，有物理学家和工程学家的眼光和触角。

　　由于应用科学的产生，所有连续性的数学理论或存在性定理，都有定量的逼近问题，因此产生很多有意义的新的数学。

　　物理、生物、化学、工程将会提供大量有意义的问题和新的观念。好的应用数学家需要融合各种的科学，经费不是唯一的问题！

　　1970年代，应用数学家坚持分家，这是由于聘请教授的观点不同和经费收入不同所致的毛病。分家的结果是：

　　数学家比较注重纯科学的命题，尤其理论物理提供了丰富的题材和方法，给予数学新的生命，虽然搞分析数学和组合数学的教授也接触应用数学，但是接触并非全面性的，用时往往缺乏应用能力，相反交流也不多。在20世纪四五十年代培养出来的应用数学家大都是一流的数学家，著名的有冯·诺伊曼、林家翘、库朗、弗德里希（Federich）、斯托克（Stoker）、格利姆（Glimm）、拉克斯（Lax）、凯勒（Keller）、莫泽（Moser）。主要发展应用数学的美国著名研究所为库朗研究所、MIT、加州理工学院、斯坦福、伯克利、耶鲁。

　　应用数学家则极力提倡应用，认为很多传统的数学训练是不必要的。在工业（尤其是计算机工业）和金融企业的引诱下，急进猛追，结果优秀的学生舍本逐利，年轻的应用数学队伍很难建立起来。